334 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
zu bestimmen. — Diese Kurve wird als gemeine Zykloide*) 
bezeichnet. 
Die Gerade XX werde als Abszissenachse und als Ur 
sprung derjenige Punkt 0 gewählt, mit welchem bei einem 
Rollen des Kreises nach links der Punkt M zum erstenmal 
zusammenfällt, so daß 
OA = arc MA. 
Nimmt man als Parameter den zu dem Bogen MA gehörigen 
Zentriwinkel MCA = u — den Rollwinkel —, so drücken sich 
die Koordinaten x = OP = OA — MQ, y = PM= AG— QC 
durch diesen wie folgt aus: 
x = a(u — sinw) 
(9') v 
v ' y = a( 1 — cosm). 
Da x' (u) = a( 1 — cosm) = 2a sin 2 --- positiv, so ist x mit 
u beständig wachsend; dagegen wechselt y'(u) = a sin u an 
den Stellen u = kit, wenn k eine ganze Zahl bedeutet, sein 
Vorzeichen, indem es an den Stellen u = 21c ji vom negativen 
zum positiven, an den Stellen u = (2k" -f 1)tc vom positiven 
zum negativen übergeht; an den erstgedachten Stellen wird 
also y ein Minimum (= 0), an den letztgedachten Stellen ein 
Maximum (= 2 a). Vermöge der Periodizität der Funktionen 
sin u, cos u besteht die ganze Kurve aus unbeschränkt vielen 
gleichen Asten, deren einer erhalten wird, wenn man u das 
Intervall (0, 27t) durchlaufen läßt. 
Die Gleichung der Tangente im Punkte M ist 
sina /t, s 
V — y = (6 - X) 
2sin* — 
oder aber 
V — U = cotg y (!-«); 
mithin ist MB die Tangente selbst, weil MBA = -- und 
tg Q MB = cotg MBA = cotg y ist. 
*) Der Name wird auf Galilei (1640), einen der ersten, der die 
Kurve untersuchte, zurückgeführt.