Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 395 
(2) S = F{x). 
Obwohl wir diese Funktion nicht kennen, sind wir imstande, 
ihren Differentialquotienten in bezug auf x auf Grund der 
Gleichung der Kurve zu bestimmen. 
Der Abszisse x -j- h — OP' entspreche der Punkt M der 
Kurve und der Bogen MM' = As sei einförmig gekrümmt in 
dem Sinne, daß er beständig nach derselben Seite konkav ist. 
Konstruiert man in den Punkten M und M' die Tangenten 
MT und M'T', so begrenzen diese mit der Sehne MM ein 
Dreieck MM Q, und nach einem Satze des Archimedes gilt: 
MM < As < MQ + QM- 
da ferner MQ -j- QM'< MR' -f- P'M, so ist in verstärktem 
M q Rp 
MM < As < ME' + E'M. 
Nun ist (38, (2)) 
MM = YMN 2 + NM- = Yh* + {f(x + h) - f\x) V 
= h ]/i + f'(x + ehf; 
(3) MB’ = MN ■ sec NMT = h j/I+TW; 
und weiter, wenn f(x) an der Stelle x auch einen endlichen 
zweiten Differentialquotienten hat, 
E'M = NM - NE' = f(x + h) - f{x) - MN • tg NMT 
= M\ x ) + j~2 f"( x + ® h ) - = JT2 r(« + ; 
wobei 0, ff unbestimmte positive echte Brüche bedeuten; durch 
Einsetzung dieser Ausdrücke verwandelt sich die obige Rela 
tion in 
(4) Ä]/l +f'(x + 0Ä) 2 < As < hVl -f- f\xy + ^ t" ( x + 
woraus 
|/iT7>+W<x<bi+7'P 2 + 2 r(» + »*)• 
Unter der Voraussetzung, daß sich eine Umgebung von 
¿c angeben läßt, innerhalb welcher /"(#) stetig sich ändert, 
konvergieren die beiden äußeren Ausdrücke für lim h = 0 gegen 
die gemeinsame Grenze ]/l + fix) 1 , und dies ist auch der