Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Bechnung usw. 397 
Denselben Grenzwert bat auch der Quotient aus dem 
Bogen zls und der zugehörigen Sehne MM = c; denn aus dem 
oben angeführten Werte für MM und der Relation (4) folgt 
!<T< 
У 1 + f(i 
+ П®)* 
+ 
Ji f"{x-\-&h) 
+ f (x + Ö/O 2 2 yi + f{x + вну 
der Ausdruck rechts konvergiert aber für lim h = 0 gegen die 
Grenze 1, daher ist bei demselben Grenzübergange auch 
(8) 
lim — = 1; 
c 
Fig. 67. 
dies führt zu dem weiteren Schlüsse, daß auch der Unter 
schied zwischen dem Bogen und der Sehne eine Größe min 
destens der zweiten Ordnung in bezug auf h oder dx ist. 
152. Das Bogendifferential in Polarkoordinaten. 
Von dieser letzten Tatsache wollen wir Gebrauch machen, um 
für eine auf ein Polarkoordinatensystem bezogene Kurve die 
Aufgabe zu lösen, den Differentialquotienten des Bogeus in 
bezug auf die Amplitude zu bestimmen. 
Sei s die Länge des Bogens M 0 M (Fig. 67), der in einem 
festen Punkte M 0 beginnend bei dem variablen Punkte M mit 
den Koordinaten r, cp endet; über 
den Bogen MM = zJs, dessen 
Endpunkt M' die Amplitude 
cp -f Лcp hat, machen wir eine 
ähnliche Voraussetzung wie im 
vorigen Artikel und sprechen sie 
hier dahin aus, daß derselbe gegen 
den Pol entweder beständig kon 
kav oder beständig konvex sei-, 
die Sehne MM' dieses Bogens 
werde wieder mit c und der Winkel 
LMM, welchen sie mit der Verlängerung des Radiusvektors 
bildet, mit со bezeichnet. 
Aus der Formel (8) folgt nun, daß auch 
Zs 
d. h. daß 
lim .