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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
keiten in der Änderung des Winkels x zu jener des Bogens s 
als Maß der Krümmung oder kurzweg als Krümmung der 
Kurve im Punkte M. Bezeichnet man die Krümmung mit k, 
so ist hiernach 
(2) 
z/s ds ’ 
dx 
wofür auch kürzer geschrieben werden kann 
Man nennt das Differential des Winkels x den Kontingenz- 
winket des zu dx gehörigen Bogenelements, weil dx bis auf 
unendlich kleine Größen höherer Ordnung als dx den Winkel 
bestimmt, welchen die Tangenten in den Endpunkten dieses 
Bogenelements miteinander einschließen. Damit ist die von 
dem Koordinatensystem unabhängige Definition gewonnen, die 
Krümmung einer Kurve in einem Funkte sei der Quotient aus 
dem Kontingenzwinkel durch das zugehörige Bogendifferential an 
der betreffenden Stelle der Kurve oder der Grenzwert, dem der 
Quotient aus dem Winkel zIx der Tangenten in M und M' 
durch den Bogen MM' selbst bei beständiger Annäherung von 
M' an M zustrebt. 
Aus der Gleichung (3) folgt: 
(4) 
dies besagt, daß das Bogendifferential und daher bis auf Größen 
höherer Ordnung auch das Bogenelement MM' seihst als Bogen 
eines Kreises vom Halbmesser 
, nnd vom Zentriwinkel dx an- 
fc 
Fig. 69. 
gesehen werden kann. Bezeichnet man 
T’ den Halbmesser dieses Kreises mit q 
und seine Krümmung in irgend einem 
Punkte mit k i7 so ist (Pig. 69) 
daher