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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
(9**) 
(fx~ + fy’)fx 
x n = x — 
Vo^y — 
fxx fy 2 — 2 fxyfxfy -f- fyy fx~ 
(/U fy*)fy _ 
fxx fy 1 2 fxy fx fy + fyy f'x 
155. Der Krümmungsmittelpunkt als letzter Schnitt 
zweier benachbarten Normalen. Der Krümmungsmittel 
punkt kann geometrisch noch in anderer Weise charakterisiert 
werden. Es ist nämlich der KrümmungsmittelpunM zu dem 
Punkte M die Grenze, gegen welche sich der Schnittpunkt der 
Normale in M mit der Normale in M' hinbewegt, wenn M' auf 
der Kurve unaufhörlich dem Punkte M sich nähert. 
Wir wollen dies gleich unter der allgemeinen Voraus 
setzung nachweisen ; daß x, y als Funktionen eines Parameters 
u gegeben sind. Dann ist die linke Seite der Gleichung der 
Normale im Punkte M (130), (23)): 
(10) (| — x) dx -f (rj — y) dy = 0 
nach Unterdrückung des Faktors du eine Funktion von t,,r\,u 
und werde als solche durch F(|, r\, u) bezeichnet, so daß an 
Stelle von (10) geschrieben werden kann 
(11) • 
die Normale in M', welchem Punkte der Parameter u -\- zlu 
zukommen möge, ist durch 
(12) V{1, rj, u + Nu) = 0 
dargestellt. An Stelle der Gleichung (12) kann auch 
V(|, rj, u-\-Ju) — F(§, 7), u) 
Ju 
gesetzt werden. Aus (11) und (13) wäre der Schnittpunkt der 
beiden Normalen zu bestimmen; da es sich aber um seine Grenz 
lage handelt, so lasse man in (13) zJu gegen Null konvergieren; 
dadurch geht diese Gleichung über in 
oder aber in 
(13*) 
du ’ 
d u V (£> V, U ) = 0 
und bestimmt mit (11) zusammen den Grenzpunkt. Seine Ko 
ordinaten ergeben sich also aus