Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 405 
(U) \i£ — x)dx +(rj-y)dy =0 
^ |(| — x) d 2 x -+- (tj — y) d 2 y = dx 2 + dy 2 
durch Auflösung in bezug auf 2* und 17; diese liefert aber 
t _ v _ i d ^ + dy*)dy 
* v dxd i y— dyd 9 x 
{dx 2 dy 3 ) dx 
7 ‘ 1 y ' dxd*y — dyd i x’ 
Werte, welche in der Tat mit den in (9*) gefundenen Koordi 
naten des Krümmungsmittelpunktes übereinstimmen. 
156. Die Evolute einer Kurve. Evolventen. Der 
Ort der Krümmungsmittelpunkte einer gegebenen Kurve ist 
eine neue Kurve, welche man als Evolute der gegebenen be 
zeichnet, während diese eine Evolvente von jener genannt wird. 
Die Namen sind in gewissen Eigenschaften dieser Linien be 
gründet, welche alsbald nachgewiesen werden sollen. 
Was zunächst die Gewinnung der Gleichung der Orts 
kurve der Krümmungsmittelpunkte oder der Evolute anlangt, 
so ist folgendes zu bemerken. Ist die Kurve in einer der 
Formen y=F(x) oder f(x,y) = 0 gegeben, so hat man zwi 
schen ihrer Gleichung und den beiden Gleichungen (9), be 
ziehungsweise (9**), die Koordinaten x, y zu eliminieren, um 
die Relation zwischen x Q , y 0 , d. i. die Gleichung der Evolute 
zu erhalten. Wenn hingegen die Kurve durch einen Parameter, 
also in der Form x = <p(u), y — tyiu) dargestellt ist, so hat 
man zwischen diesen und den beiden Gleichungen (9*) die 
Variablen x, y, u zu eliminieren, um zu demselben Ziele zu 
gelangen. 
Um nun die charakteristischen Eigenschaften der Evolute 
zu erweisen, gehen wir von den Gleichungen (14) aus, welche 
zwischen den Koordinaten xjy eines Punktes der gegebenen 
Kurve und den Koordinaten xjy 0 des Krümmungsmittelpunktes, 
also des ihm zugeordneten Punktes der Evolute, die folgenden 
Beziehungen zum Ausdruck bringen: 
(x 0 —x)dx + (y 0 — y)dy = 0, 
(x 0 — x) d 2 x -f (yo — y) d 2 y = dx 2 -f dy 2 .