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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
so wird der Krümmungshalbmesser durch Verdoppelung der 
Normale erhalten. 
Weiter findet man 
Xq = a(u -f- sin u) 
y 0 = —• a( 1 — cos m); 
wird eine Translation des Koordinatensystems ausgeführt ge 
mäß den Gleichungen 
x Q = x 0 ' ita 
l Jo = Vo 2a, 
so hat man für die neuen Koordinaten die Ausdrücke: 
x q = — Jt -(- sin m) = a(w — — sin (m — jc)) 
?/ 0 ' = «(1 + cos «*) = a(l — cos {u — 7t)), 
oder, wenn noch u — n = gesetzt wird: 
# 0 ' = a(u' — sin u) 
y 0 ' = a( 1 — cos u). 
Daraus geht hervor, daß die Evolute der Zykloide eine 
ihr kongruente Zykloide ist, gegen sie verschoben im Sinne 
der ¿c-Achse um na, im Sinne der Ordinatenachse um — 2a. 
Die Länge des Bogens OC 0 der Evolute ist gleich dem 
Unterschiede der Krümmungsradien in C und 0; der erste ist 
4a, der zweite 0, daher arc OC 0 = arc OC = 4a und arc OCB 
= 8 a. 
158. Krümmungsmittelpunkt einer Roulette. Als 
Beispiel einer infinitesimal-geometrischen Betrachtung wollen 
wir die Bestimmung des Krümmungshalbmessers und Krüm 
mungsmittelpunktes einer Roulette vornehmen, eine Aufgabe 
zugleich, die wegen ihrer Allgemeinheit und Tragweite von 
Bedeutung ist. 
Unter einer Roulette versteht man die Bahn, die ein 
mit einer starren Figur fest verbundener Punkt P beschreibt, 
wenn diese mit einer ihr ungehörigen Polkurve K auf einer 
festen Polbahn K 1 abrollt. 
Wie sich zeigen wird, genügt es, die Betrachtung auf den 
Fall zu beschränken, daß Polkurve und Polbahn Kreise sind,