Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 421 
innerhalb jenes Bereichs reelle Wurzeln besitzt; ist x 0 eine 
solche Wurzel, so ist 
9>0» o) = V( x o) = Vo 
eine doppelte zu x 0 gehörige Wurzel von (1), die beiden Aste 
(2), (3) schneiden sich in x 0 /y 0 oder berühren einander dort 
(Fig. 80 a) und b)); die erste Erscheinung 
bezeichnet man als Selbstdurchschnitt 
oder Knotenpunkt, die zweite als Selbst- 
berührung des ganzen durch (1) dargestell 
ten Gebildes. 
Bedeutet 
V = O) 
einen Zweig, welcher beispielsweise in dem 
Intervalle (— oo, x 0 ) komplexe und in 
dem Intervalle (x 0 , + oo) reelle Werte von y gibt, also nur 
in dem letzteren Intervalle reell ist, so gehört zu ihm not 
wendig ein anderer Zweig 
V = 
mit denselben Reellitätsverhältnissen, weil in einer Gleichung 
mit reellen Koeffizienten komplexe Wurzeln paarweise Vor 
kommen; und da die Paare konjugiert sind, so haben cp(x), 
in dem Intervalle (— oo, x 0 ) die Formen 
Hj{x) -(- icj 2 (x) 
CO-l (x) — i CO 2 (%) > 
wobei co^#), (o 2 (ir) stetige reelle Funktionen bedeuten; an der 
Stelle x 0 werden beide Funktionen reell 
in der Weise, daß co 2 (;r 0 ) = 0 wird; in 
demselben Augenblicke wird 
y 0 = (p (x 0 ) = ip(x 0 ) = hj(« 0 ), 
so daß die reellen Teile der Zweige im 
Punkte x 0 /y 0 zugleich beginnen. Dies kann, 
wie in Fig. 81, so geschehen, daß der 
Punkt M 0 den Charakter eines gewöhnlichen Punktes aufweist, 
und er würde sich als solcher auch analytisch zu erkennen 
geben, wenn man in der Gleichung (1) x statt y als abhängige 
Mg. 81. 
Mg. 80.