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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Durch Translation des Koordinatensystems werde die Glei 
chung (1) derart transformiert, daß der Punkt x 0 /y 0 Ursprung 
wird; die bezüglichen Transformationsgieichungen lauten: 
x = x 0 -\-t, V = y 0 + V 
und die transformierte Gleichung (100,(41)): 
f(&0 + £,yo + v) 
= ti x of Vo) + f + fyoV + Y (f*A 2 + 2 fx 0 , Jo '£rj -f fyjif) 4 = 0, 
oder aber, weil f\x 0 , y 0 ) = 0 ist: 
(4) fxX + fy 0 rj + — (fc? + 2 fx 0 y 0 %t) + fyjrf) + • • • = 0. 
Die Abszissen der Schnittpunkte, welche die durch den 
neuen Ursprung, also durch den betrachteten Punkt M Q der 
Kurve, gelegte Gerade 
(5) n = tl 
mit der Kurve bestimmt, ergeben sich aus der Gleichung 
(6) (f*o + + y (/*>* "^ ^ + fvo^W + • * • = 0. 
Sind f' Xo} f yo nicht gleichzeitig Null, so hat diese Gleichung 
| = 0 zur einfachen Wurzel, die Gerade (5) also mit der Kurve 
in M 0 im allgemeinen nur einen Punkt gemein, und man be 
zeichnet daher M 0 als einfachen Punkt der Kurve. Nur wenn 
der Richtungskoeffizient t so bestimmt wird, daß 
(?) fk + fy 0 t= 0 
ist, hat die Gerade (5) in M 0 mit der Kurve mindestens zwei 
vereinigt liegende Punkte gemein und ist Tangente der Kurve 
in diesem Punkte; der Punkt ist damit zugleich als gewöhn 
licher Punkt gekennzeichnet. Aus (7) ergibt sich, wenn 
fy 0 + 
t — — — 
n0 
und hiermit 
( 8 ) f*ot + fyoV = 0 
als Gleichung der Tangente (128, (8)). Mit Rücksicht auf (4) 
kann also der Satz ausgesprochen werden: Geld eine algebrai 
sche Kurve durch den Ursprung des Koordinatensystems und ist