Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 425 
dieser ein einfacher Punkt derselben, so erhält man durch Null- 
setzen der Gliedergruppe erster Ordnung unmittelbar die Glei 
chung der Tangente im Ursprung. 
Wäre f' yo = 0, dagegen f' Xo =(= 0, so ersetze man t durch 
— und findet r = 0, so daß £ = 0 oder die Ordinatenachse zur 
X 
Tangente wird. 
Wir gehen nun zu dem Falle über, wo gleichzeitig 
(9) 
ist; wenn nicht auch alle drei Differentialqnotienten zweiter 
Ordnung zugleich verschwinden, so beginnt nunmehr die Glei 
chung (6) mit einem Gliede zweiten Grades in bezug auf £ 
und lautet allgemein: 
sie hat | = 0 zur zweifachen Wurzel, die Gerade (5) schneidet 
also die Kurve im Punkte M 0 zweifach, mit anderen Worten: 
sie schneidet dort zwei — reelle oder imaginäre — Äste der 
Kurve, und deshalb wird nun M 0 ein zweifacher oder ein 
Doppelpunkt der letzteren genannt. Für diejenigen Geraden, 
deren Richtungskoeffizient die Bedingung 
(11) 
erfüllt, fallen in M 0 mehr als zwei Punkte der Kurve zu 
sammen, diese Geraden sind die Tangenten an die durch M 0 
verlaufenden Kurvenzweige. 
In betreff der Wurzeln der Gleichung (11) sind aber 
mehrere Fälle zu unterscheiden, 
a) Ist die Diskriminante 
so hat (11) zwei verschiedene reelle Lösungen, durch M 0 gehen 
zwei reelle Zweige mit verschiedenen Tangenten, M 0 ist also 
ein Knotenpunkt (Fig. 80, a)). 
b) Ist die Diskriminante