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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
B. Raumkurven und krumme Flächen. 
§ 1. Tangente und Normalebene einer Raumkurve. 
Die erste Krümmung oder Flexion, 
169. Analytische Darstellung der Raumkurven. 
Sind die veränderlichen rechtwinkligen Koordinaten x, y, z 
eines Punktes M im Raume als eindeutige stetige Punktionen 
einer Hilfsvariablen, des Parameters, u gegeben: 
(1) X = x(u) y = y(ii) z = z(u), 
so beschreibt, während u seinen Bereich stetig durchläuft, der 
Punkt M eine Kurve im Raume, sofern nicht eine der drei 
Punktionen beständig den Wert Null hat; in letzterem Falle 
würde in einer der Koordinatenebenen eine Kurve beschrieben 
werden. Von den Punktionen x(u), y(u), z (u) setzen wir 
weiter noch voraus, daß sie bis zu Gliedern der jeweilen er 
forderlichen Ordnung nach der Taylor sehen Formel entwickel 
bar seien. 
Besteht zwischen den drei Funktionen eine lineare Be 
ziehung mit konstanten Koeffizienten 
Ax(u') -|- By(u) -f Gz (ii) + I) = 0, 
so liegen alle Punkte der Kurve in einer Ebene, die Kurve ist 
eine Plankurve; findet eine derartige Beziehung nicht statt, so 
heißt die Kurve eine Raumkmve. 
Zwei von den Gleichungen (1) für sich betrachtet (127), z. B. 
V = 2/0), e = *(»), 
bestimmen eipe Kurve in der y^-Ebene; dieselbe wird gleich 
zeitig mit der Raumkurve von dem Pußpunkte des Lotes 
aus M auf die yz-Ebene beschrieben, ist also die Projektion 
der Raumkurve auf dieser Ebene. Diese Projektion kann, 
wenn man u eliminiert, auch durch eine Gleichung der Form 
cp{y, z) = 0 dargestellt werden; verfährt man mit den anderen 
Paaren aus (1) ebenso, so ergeben sich drei Gleichungen 
9>0, *) = 0 
i\)(z, x) == 0 
l(x, y) = 0,