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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Die nenn Formeln (I), (II), (III), nach ihrem Urheber 
Frenetsche Formeln genannt*), drücken die Differential 
quotienten der Kosinus der drei für einen Punkt einer Raum-- 
kurve grundlegenden Richtungen in bezug auf den Bogen durch 
diese Kosinus selbst sowie durch Flexion und Torsion aus. 
Sie sind für die Anwendungen der Kuryentheorie von großer 
Wichtigkeit. 
180. Das Vorzeichen der Torsion. Durch Ausführung 
der Formeln (II) auf Grund von 177, (11) und (13) erhält man: 
cIq 
ds 
ds 
dg 
ds 
dy 
dz 
dy 
dz 
ds 
ds 
+ Q 
ds 
d s 
d*y 
d*z 
d s y 
d 3 s 
ds 2 
ds* 
ds 3 
ds 3 
dz 
dx 
dz 
dx 
ds 
ds 
+ Q 
ds 
ds 
d*z 
d*x 
d 3 s 
d 3 x 
ds* 
ds* 
ds 3 
ds 3 
dx 
dy 
dx 
dy 
ds 
ds 
+ Q 
ds 
ds 
d*x 
d*y 
d 3 x 
cPy 
ds* 
ds* 
ds 3 
ds 3 
g d*x 
T ds* 
9 Fy 
T ds 5 
g d* z m 
T ds 5 5 
multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit 
y > und bildet die Summe, so erhält ( ~ zum Koeffi- 
ds*’ ds“' ds 2 ’ ds 
zienten eine Determinante dritten Grades, welche zwei gleiche 
Reihen hat und daher Null ist; rechts ist die Formel 173, (14) 
zu beachten; man findet so: 
(16) 
dx dy ds 
ds ds ds 
d*x dry d* z 
ds* ds* ds* 
d 3 x d 3 y d 3 z 
ds 3 ds s d s 3 
Daraus folgt, daß die Torsion das entgegengesetzte Vorzeichen 
der Determinante A hat, von welcher in 175 schon die Rede 
*) Häufig auch als Serretsche Formeln bezeichnet; Freuet hatte 
sie 1847 als Doktordissertation bei der Toulouser Fakultät eingereicht, 
Serret sie unabhängig von ihm gefunden und 1851 im Journal von 
Grelle veröffentlicht, wo 1852 auch Frenets Arbeit erschien.