Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 477 
yall stetig durchläuft, eine krumme Fläche. Demnach ist eine 
solche auch durch drei Gleichungen von der Form 
(3) x = x(u, v), y = y(u, v), z = z{u, V) 
darstellbar. 
Erteilt man in (3) dem v einen festen Wert v x , so 
stellen sie eine Kurve dar, welche der Fläche angehört oder 
ihr aufgeschrieben ist und die man kurzweg die Kurve v l 
nennen kann. 
Aber auch einem festen Werte u x von u entspricht eine 
Kurve auf der Fläche, welche die Kurve u t heißen soll. 
Durch den Schnitt beider Kurven, der sogenannten Para- 
meterkurven, ist ein Punkt M x auf der Fläche bestimmt und 
man nennt u = u x , v = v x seine krummlinigen Koordinaten; die 
gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten dieses Punktes drücken 
sich durch 
x = v t ), y = y(u 1} v t ), z =z(u±, 
aus. 
Die zuletzt erklärte Darstellungsweise krummer Flächen 
ist durch Gauß*) in die Flächentheorie eingeführt und aus 
gebildet worden; sie hat sich für tiefer gehende Untersuchungen 
als die geeignetste erwiesen. 
Yon der Darstellung (3) gelangt man durch Elimination 
von u, v zu der Form (2) und, falls hier Lösung nach z 
möglich ist, zu der Form (1). 
Neben der Beziehung einer Fläche auf ein rechtwinkliges 
Koordinatensystem ist die Darstellung in räumlichen Polar 
koordinaten cp, 6, r am gebräuchlichsten; die Transformation 
der ersteren Koordinaten in die letzteren geschieht (68, I) 
mittels der Gleichungen: 
X = r sin 6 cos cp 
y = r sin 0 sin cp 
z = r cos 6. 
183. Die Tangentialebene als Ort der Tangenten. 
Es sei M mit den Koordinaten xjy/z ein Punkt der Fläche 
*) Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827. Deutsch 
von A. Wangerin in Ostwalds Klassikern (Nr. 5).