Erster Teil. Differential-Rechnung. 
dingungen für ein Extrem der Funktion z erfüllt sind, so 
ist der Wert z = 0, den sie in M hat, ein Maximum oder 
ein Minimum, je nachdem die benachbarten Werte z negativ 
oder positiv sind. 
In dem Grenzfalle 
der einen parabolischen Punkt anzeigt, kann der Schnitt (21) 
in M eine Spitze, Selbstberührung oder auch einen isolierten 
Punkt mit reeller Tangente aufweisen. Ist die Fläche ab 
wickelbar (192, (28)), so hat die Tangentialebene mit der Fläche 
eine Erzeugende gemein, die zweifach gezählt als Durchschnitt 
der Tangentialebene mit der Fläche anzusehen ist. 
206. Bestimmung der Hauptnormalschnitte und 
Hauptkrümmungsradien. Um für einen beliebigen Punkt 
einer gegebenen krummen Fläche die Lage der Hauptnormal 
schnitte und die Größe der Hauptkrümmungsradien zu be 
stimmen, gehen wir von dem allgemeinen Ausdruck 203, (8) 
für die Krümmung eines Normalschnittes: 
faa\ 1 r cos 2 a -f- 2 s cos cc cos ß -)- t cos 2 ß 
aus und stellen die Bedingung für deren extreme Werte auf; 
dabei ist zu beachten, daß die Winkel cc, ß, welche allein bei 
der Drehung des Normalschnittes um die Normale der Fläche 
sich ändern, nicht unabhängig voneinander sind, daß sie viel 
mehr der aus 201, (4) resultierenden Bedingung 
(23) cos 2 cc -f cos 2 ß + (p cos cc + q cos /3) 2 — 1 = 0 
zu genügen haben. 
Setzt man zur Abkürzung die positive Quadratwurzel 
(24) = w, 
so handelt es sich also um die relativen Extreme der Funktion 
^ mit der Neben bedingung (23), und dies kommt nach 125 
auf die Untersuchung der absoluten Extreme von: 
r cos 2 a + 2s cos a cos ß -f t cos 2 ß 
— I [cos 2 a -(- cos 2 ß {p cos cc -\- q cos ß) 2 — 1]