Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 533 
zurück, wobei X einen noch unbestimmten Multiplikator be 
deutet. Die Bedingungen für ein absolutes Extrem sind aber: 
( r cos a + s cos ß = A[(l + p 2 ) cos a -f- pq cos /31 
\ s cos a -\- t cos ß = A[(l + q 2 ) cos ß + pq cos cc]; 
daraus ergibt sieb durch Elimination von X die in bezug auf 
cosa, cos ß homogene quadratische Gleichung: 
I [(l+j9 2 )s— pqr]cos 2 a~ [(1 + q 2 )r — (1 -f p 2 )i\ cos« cos/S 
| — [(1-f g 2 )s — pgi] cos 2 /3 = 0, 
durch welche die Lage der Hauptnormalschnitte charakterisiert 
ist. Die Gleichung gibt nämlich zwei Werte für den Quo 
tienten 
und diese bestimmen die Richtungen der Projektionen der 
Tangenten an die Hauptnormalschnitte in der #?/-Ebene; da 
durch sind die Tangenten selbst und mit Zuziehung der Flächen 
normale endlich die Hauptnormalebenen gegeben. 
Die Bedeutung des Multiplikators X findet sich aus den 
Gleichungen (25), wenn man die erste mit cos «, die zweite 
mit cos ß multipliziert und darauf die Summe bildet; vermöge 
(22) und (23) erhält man: 
Setzt man diesen Wert in (25) ein und ordnet wie folgt: 
{rB — (1 -j- p 2 )w} cos a + (sR — pqw} cos /3 = 0, 
{sR — pqw} cos a -f- {tR — (1 -f- (f)iv} cos ß = 0, 
so liefert die Elimination von cos a, cos ß die in bezug auf R 
quadratische Gleichung: 
(27) (rt — s 2 )R 2 — [(1 + q 2 )r — 2pqs + (1 -\-p 2 )t]wR + w 4 = 0, 
welche, da sie aus den Bedingungen für die Extreme von ^ 
hervorging, die Größe der Hauptkrümmungshalbmesser bestimmt. 
Das Vorzeichen des Produktes der Hauptkrümmungsradien 
stimmt vermöge dieser Gleichung mit dem Vorzeichen von 
rt — s 2 überein und wird einer der Radien unendlich, wenn