Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 535 
207. Analytische Charakteristik der Nabelpunkte. 
Ein NabelpunJä ist dadurch gekennzeichnet, daß sich für ihn 
keine Bestimmung der Hauptnormalschnitte ergibt; die Glei 
chung (26) versagt aber nur dann, wenn die Koeffizienten 
einzeln verschwinden, wenn also: 
(1 p 2 )s — pqr = 0, (1 + q 2 )r — (1 + P 2 )t = 0, 
(1 4- g 2 )s pqt = 0 
oder 
1 +p 2 = pq = r+ä* 
ist. 
Man hätte zu diesem Resultate auch von der Gleichung 
(27) aus gelangen können, da man einen Nabelpunkt auch als 
einen Punkt mit gleichen Hauptkrümraungsradien definieren kann. 
Die Gleichheit der Wurzeln erfordert aber das Verschwinden 
der Determinante, dieses wieder erfordert nach (29), daß 
a x = b 2 , B x = 0 
sei, und dies führt laut (28) tatsächlich wieder auf (30) hir 
Die letzten beiden Gleichungen haben aber auch 
-4=0 
zur Folge; wenn sie also erfüllt sind, so verschwinden sämt 
liche Koeffizienten von (26*) und man kommt so wieder zum 
ersten Prinzip zurück. 
Aus (30) lassen sich im allgemeinen zwei voneinander 
unabhängige Gleichungen formieren; jede derselben stellt eine 
Fläche dar, und diese zwei Flächen in Verbindung mit der 
gegebenen Fläche bestimmen die Nabelpunkte der letzteren, so 
daß es deren in der Regel nur eine beschränkte Anzahl gibt. 
Wenn jedoch die Beziehungen (30) auf eine einzige Glei 
chung sich reduzieren, so hat die gegebene Fläche eine Nabel- 
punktlinie, und sind sie identisch erfüllt, so sind alle Punkte 
der Fläche Nabelpunkte (die Kugel). 
208. Beispiele. 1) Es sind die Hauptuormalschnitte 
und Hauptkrümmungsradien für einen Punkt einer Rotations 
fläche zu bestimmen. 
Die allgemeine Gleichung der Rotationsflächen, für welche 
die z-Achse Rotationsachse ist, kann (189, (2)) in der Form