Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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ns in einem 
i die Werte 
M liegende 
•te aus den 
Kontinuen durchwegs über M, so käme der unter M liegende 
Wert A nicht zustande; ähnliche Erwägungen gelten für A>B. 
Kommt aber der Wert M in einem der Kontinuen vor, so 
nimmt die Funktion ihn auch für einen bestimmten Wert der 
Variablen aus (a, ß) an, so daß auch jetzt, und zwar min 
destens einmal, die Gleichung f(x) = M stattfindet. 
4) Wenn die Funktion f(x) in dem Intervall (a, ß) stetig 
ist und ihre Endwerte f(a) = A, f(ß) = B ungleich bezeichnet 
sind, so gibt es wenigstens einen Wert x zwischen a und ß, für 
welchen die Gleichung besteht: 
f{x) = 0. 
Dieser Satz ist eine Folge des vorangehenden; denn f{x) 
nimmt jeden Wert zwischen A und B mindestens an einer 
Stelle des Intervalls (a, ß) an, hier also auch den Wert Null, 
weil er dem Kontinuum (A, B) an gehört. 
18. Verschiedene Arten der Unstetigkeit (Diskon 
tinuität). Wenn die Definition einer (analytischen) Funktion 
f{x) für einzelne Werte der stetigen Variablen x, deren Inter 
vall (a, ß) sei, ihre Bedeutung verliert, so kann die Funktion 
in der Umgebung einer solchen Stelle verschiedenes Verhalten 
zeigen. 
Es sei x = a eine solche Stelle, welche entweder zwischen 
a und ß liegt oder mit einem dieser Endwerte zusammenfällt. 
1) Ist a innerhalb des Intervalls gelegen und 
lim f(x) = lim f(x) = b, 
x = a — 0 a: = a + 0 
d. h. konvergiert f(x) zu beiden Seiten von a gegen eine und 
dieselbe bestimmte Grenze b, so kann man die Definition der 
Funktion, die an der Stelle a eine Lücke aufweist, vervoll 
ständigen, indem man dieser Stelle jenen Grenzwert zuweist, 
also f(a) = b setzt; die Funktion verhält sich dann in der 
Umgebung von a wie eine stetige Funktion. 
Eine ähnliche Bestimmung kann getroffen werden, wenn 
a mit a oder ß (a<Cß) zusammenfällt und f{x) für lim x = a -f- 0, 
beziehungsweise für lim x = ß — 0 gegen eine bestimmte Grenze 
konvergiert.