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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
P = — q=f\u)~ 
und die Differentialgleichung der Fall-Linien; 
dy x 
dx y 
wird unabhängig von der Funktion f Schreibt man sie in 
der Form 
xdx + ydy = 0, 
so erkennt man in der linken Seite das halbe Differential von 
x 2 -f- i/ 2 ; infolgedessen ist 
x 2 -j- y 2 = C 
die Gleichung des Systems der xy-Projektionen der Fall- 
Linien, das also ein System konzentrischer Kreise ist. 
210. Krümmungslinien. Die Normalenfläche einer ge 
gebenen Fläche 
* = f(. x , y) 
längs einer ihr aufgeschriebenen Kurve ist im allgemeinen eine 
windschiefe Fläche, d. h. eine solche, deren geradlinige Er 
zeugende weder durch einen festen (im Endlichen liegenden 
oder unendlich fernen) Punkt gehen, noch Tangenten an eine 
Kurve sind. 
Ist jedoch die aufgeschriebene Kurve K solcher Art, daß 
die zu ihr gehörige Normalenfläche eine abwichelhare Fläche 
ist, so heißt sie eine Krümmungslinie der gegebenen Fläche; 
der Grund für diese Bezeichnung wird sich alsbald ergeben. 
Es gibt zwei Flächen, für welche jede aufgeschriebene 
Kurve im Sinne dieser Definition eine 
Krümmungslinie ist: die Ebene und die 
Kugel, denn dort ist die Normalenfläche 
ein Zylinder, hier ein Kegel. 
Es entsteht nun die Frage, ob auf 
einer beliebigen Fläche Krümmungs 
linien existieren und welches ihre ana 
lytischen Merkmale und geometrischen 
Eigenschaften sind. 
Angenommen, K (Fig. 113) sei eine Krümmungslinie der 
Fläche und K 0 die Rückkehrkante der zugehörigen develop- 
.Pig. 113.