Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 547 
die der anderen Schar als Evolventen dieser Kurve; hei einem 
Kegel ergibt sich in der Abwicklung ein Strahlenbüschel und 
ein System konzentrischer Kreise, bei einem Zylinder zwei zu 
einander senkrechte Parallelstrahlenbüschel. 
Für eine beliebige Fläche bildet die analytische Bestim 
mung der Krümmungslinien eine Aufgabe der Integralrechnung. 
212, Krümmungsmaß einer Fläche. An die Besprechung 
der Krümmungslinien möge eine kurze Erörterung über eine Frage 
geschlossen werden, auf welche Gauß*) zuerst eine präzise Ant 
wort gegeben hat. 
Es ist bisher nur von der Krümmung von Linien auf 
Flächen und nicht von der Krümmung der Flächen selbst ge 
sprochen worden. Gauß hat für die Krümmung einer Fläche 
in einem ihrer Punkte die folgende Definition aufgestellt, welche 
der Definition für die Flexion einer Raumkurve (173) nach 
gebildet ist. 
Ein den betreffenden Punkt M einschließender (oder wenig 
stens nicht ausschließender) Teil S (Fig. 114) der krummen 
Fläche werde auf einer Kugel vom Halbmesser 1 in der Weise 
abgebildet, daß man aus dem 
Mittelpunkte der Kugel einen 
Kegel konstruiert, dessen Sei 
ten parallel sind den Nor 
malen der Fläche längs des 
Umfanges von $; der inner 
halb dieses Kegels liegende 
Teil 2J der Kugeloberfläche 
ist unter gewissen alsbald 
zu erwähnenden Voraussetzungen die Abbildung von 8 in 
dem Sinne, daß die Punkte von S und 2J durch parallele 
Normalen ein-eindeutig aufeinander bezogen sind. Der Grenz- 
wert des Quotienten ^ für ein gegen die Grenze Null ab 
nehmendes S heißt das (Gaußsche) Krümmungsmaß der Fläche 
im Punkte M. 
*) Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828, art. 6(Werke, 
Bd. 8).