38 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
2) Wenn jedoch cc < a < ß und 
lim f(x) = h, lim f(x') — b' 
x=a—0 *=fl!+0 
und b 4= V, so heißt die Funktion an der Stelle a unstetig oder 
diskontinuierlich, und man sagt von ihr, sie springe von b auf 
b' über. Es läßt sich jetzt keine Umgebung von a kon 
struieren derart, daß für zwei beliebige Werte x, x" aus der 
selben f(x')—f(x") 1 beliebig klein würde. 
3) Wenn für den innerhalb (cc, ß) befindlichen Wert a bei 
dem einen oder dem andern der Grenzübergänge lim x = a — 0 
und lima;==a + 0 ein bestimmter Grenzwert b, bei dem andern 
der Grenzwert oo (mit bestimmtem oder unbestimmtem Vor 
zeichen) zustande kommt, so verhält sich die Funktion auf 
der erstgedachten Seite von a wie eine stetige Funktion; wäre 
z. B. lim f(x) = b, so kann f(x) in dem Intervall (cc, a) als 
x— a— 0 
stetige Funktion angesehen werden, sofern man f(a) — b setzt. 
Man sagt, sie sei im Punkte a, und zwar zu einer Seite des 
selben, unstetig. 
4) Wenn für den innerhalb (cc, ß) liegenden Wert a bei 
den beiden Grenzübergängen a — 0 und a + 0 für f(x) der 
Grenzwert oo zustande kommt, so heißt f(x) in a, und zwar 
zu beiden Seiten, unstetig. 
In den Fällen 3) und 4) wird x = a ein Unendlichkeits 
punkt der Funktion genannt. 
5) Unstetig beißt f(x) ferner an einer Stelle a, wenn bei 
einem der Grenzübergänge a — 0 und a + 0 oder bei beiden 
f(x) keiner Grenze zustrebt, und es kann auch hier von ein 
seitiger oder beiderseitiger Unstetigkeit gesprochen werden. 
Einen Wert x = a, für welchen eine Funktion f(x) eine 
der hier erörterten Eigenschaften aufweist, nennt man einen 
singulären Punkt und, von dem Falle 1) abgesehen, auch einen 
Unstetigkeitspunkt. Bei den analytischen Untersuchungen müssen 
solche Punkte von der Betrachtung zumeist ausgeschlossen 
werden; man denkt sich dies dadurch erzielt, daß aus dem 
Intervall (a, ß) eine beliebig enge endliche Umgebung des 
Unstetigkeitspunktes ausgescbieden wird.