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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Tangenten sind die Asymptoten der Indikatrix oder die Haupt 
tangenten der Fläche. 
Der letztere Umstand begründet den Namen der asymp 
totischen Linien, neben welchem auch der Name „Haupt 
tangentenkurven “ gebräuchlich ist. 
Die beiden Scharen asymptotischer Linien schneiden sich 
im allgemeinen unter schiefen Winkeln; nur in Punkten, wo 
die Indikatrix aus gleichseitigen Hyperbeln sich zusammensetzt, 
erfolgt der Schnitt rechtwinklig. Es gibt Flächen, wo dies 
durchwegs geschieht; die Wendelfläche ist ein Beispiel dieser 
Art (208, 2)). 
In einem parabolischen Punkte fallen die beiden Normal 
schnitte von der Krümmung Null in einen zusammen. Hat 
die Fläche oder Flächenregion nur parabolische Punkte, so ver 
einigen sich die beiden Scharen asymptotischer Linien zu einer 
einzigen. Auf einer abwickelbaren Fläche liegen also die beiden 
Scharen asymptotischer Linien vereinigt und werden durch die 
geradlinigen Erzeugenden der Flüche dargestellt. 
Auf einer Fläche oder Flächenregion mit elliptischen 
Punkten gibt es keine reellen asymptotischen Linien. 
Wenn eine Fläche aus Regionen mit hyperbolischen und 
aus solchen mit elliptischen Punkten besteht, wie dies beispiels 
weise bei dem 189, 3) erwähnten Torus der Fall ist, so wird 
die Grenze zwischen beiderlei Regionen durch Kurven mit 
parabolischen Punkten gebildet; von jedem Punkte einer solchen 
Kurve laufen dann zwei asymptotische Linien mit gemeinschaft 
licher Tangente aus. 
Während die stets reellen und rechtwinklig sich schneiden 
den Krümmungslinien den Verlauf der algebraisch größten und 
der algebraisch kleinsten Krümmung anzeigen, bezeichnen die nur 
bedingt reellen und im allgemeinen schiefwinklig sich schneiden 
den asymptotischen Linien den Verlauf der Krümmung Null. 
Beispiel. Zur Bestimmung der asymptotischen Linien der 
geraden Konoide (209, 2)) 
bilde man mittels der Abkürzung