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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
f{~) = b Arctg | , folglich f (-J) so daß die zweite 
Schar seiner asymptotischen Linien durch 
x 2 + y 2 = % 
bestimmt ist, wenn hC=n gesetzt wird; die Gleichung stellt 
ein System konzentrischer Kreise dar, welchem auf der Fläche 
eine Schar koaxialer Schraubenlinien entspricht. 
414. Geodätische Linien. Zu Beginn des vorigen Ar 
tikels ist von einer einfach unendlichen Schar von Ebenen 
gesprochen worden, welche durch eine einer gegebenen Fläche 
aufgeschriehene Kurve C bestimmt ist; es war die Schar der 
Tangentialebenen der Fläche in den Punkten von C. 
Eine andere einfach unendliche Schar bilden die Normal- 
ebenen der Fläche, welche die Kurve C in den einzelnen 
Punkten berühren; auch sie werden durch eine abwickelbare 
Fläche eingehüllt, die im allgemeinen verschieden ist von der 
Tangenteniläche der C. 
Ist die Kurve so beschaffen, daß die Einhüllende der sie 
berührenden Normalebenen mit ihrer Tangentenfläche zusammen 
fällt, so heißt sie eine geodätische Linie der Fläche. 
Aus dieser Definition läßt sich eine andere ableiten, die 
der analytischen Darstellung unmittelbar zugänglich ist. Wenn 
nämlich Gr eine geodätische Linie darstellt, so ist die in einem 
Punkte M derselben durch die Tangente an Gr gelegte Normal 
ebene der Fläche ihrer Oskulationsebene; die Oskulationsebene 
enthält aber außer der Tangente der Kurve noch deren Haupt 
normale, und weil diese mit der Tangente einen rechten Winkel 
bildet, so fällt sie notwendig in die Normale der Fläche. Man 
kann daher auch die folgenden Erklärungen für die geodätische 
Linie aufstellen: 
Unter einer geodätischen Linie ist eine solche Kurve auf der 
Fläche zu verstehen, deren Oskulationsebene durchweg senkrecht 
ist zur Tangentialebene der Fläche in dem betreffenden Punkte; 
oder, es ist eine solche Kurve, bei welcher in jedem Punkte die 
Hauptnormale in die Normale der Fläche fällt. 
Jede dieser Erklärungen führt zu einer die geodätische 
Linie charakterisierenden Beziehung.