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Erster Teil. Differential-Rechnung'.
somit kann auch dieser Unterschied durch Wahl von n unter
die Größe s gebracht werden.
Man hat also in der unbegrenzt fortsetzbaren Folge der
abgekürzten Dezimalbrüche
(5) a Q , a i} a 2 , a S} ...
eine Reihe von Brüchen, welcher folgende Eigenschaften zu
kommen: 1) Keines ihrer Glieder kommt dem Bruche gleich;
2) man kann n so groß wählen, daß der Unterschied a n+v —a„
bei jedem v kleiner ausfällt als der beliebig klein festgesetzte
Bruchteil s der Einheit; 3) der Unterschied * — a„ kann
gleichfalls durch entsprechende Wahl von n kleiner gemacht
werden als ein beliebig klein festgesetztes s. Dieser Sach
verhalt wird in Kürze dadurch ausgedrückt, daß man die
Zahlenreihe (5) als Iconvergent und den Bruch als ihren
Grensivert bezeichnet.
Mau kann sich von der Sache noch eine andere Auf
fassung bilden, wenn man auch die Zahlen a' n hinzunimmt,
welche unter (2) definiert worden sind und aus den Zahlen der
Reihe (5) dadurch hervorgehen, daß man an jeder derselben
die niedrigste Stelle um eine Einheit erhöht; diese Zahlen bilden
gleichfalls eine unbegrenzt fortsetzbare Folge von endlichen
Dezimalbrüchen
(5 ) a 0 , a-y, ti 2 > • • •}
welche mit der Reihe (5) analoge Eigenschaften besitzt mit
dem Unterschiede jedoch, daß alle ihre Glieder größer sind
Die Zahl ~ scheidet nun die Zahl der Reihen (5) und
(5') nach folgenden Gesetzen voneinander: 1) Jede Zahl in
(5') ist größer als jede Zahl in (5); 2) es lassen sich, wie
klein auch s sein mag, zwei Zahlen finden, die eine aus (5'),
die andere aus (5), derart, daß ihr Unterschied kleiner ist
als e. Diesen Sachverhalt drückt man dadurch aus, daß man
sagt, die Zahl bringe einen Schnitt*) zwischen den Zahlen
*) R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig
1872, 1892.
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