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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
die Sehne c, wie nahe auch die Punkte M', 31" an M Hegen; 
da nun die auf der Fläche ver zeichnete Linie als die kürzeste 
vorausgesetzt worden ist, so folgt daraus, daß die Grenzlage 
der Ebene, welche durch 31 und zwei benachbarte Punkte 
dieser Linie gelegt wird, die durch die Tangente in 31 gehende 
Normalebene ist. Diese Grenzlage ist aber die Oskulations- 
ebene der Kurve in 31; mithin geht bei der kürzesten Linie 
die Oskulationsebene in jedem Punkte durch die Normale der 
Fläche, und damit ist sie als eine geodätische Linie erwiesen. 
Daraus können mehrere wichtige Folgerungen gezogen werden. 
Enthält eine Fläche gerade Linien, so gehören sie zu den 
geodätischen Linien der Fläche, weil sie kürzeste Linien zwischen 
je zweien ihrer Punkte sind. Bei einer Regelfläche gehören 
also die geradlinigen Erzeugenden zu den geodätischen Linien. 
Jede geodätische Linie einer abwickelbaren Fläche erscheint 
in der Abwicklung als gerade Linie. 
In dem vorigen Artikel ist die Tatsache festgestellt worden, 
daß eine Raumkurve auf ihrer rektifizierenden Developpabeln, 
d. i. auf jener Fläche, welche die Ebenen durch Tangente und 
Binormale einhüllt, die Rolle einer geodätischen Linie hat; 
daher erscheint die Raumkurve in der Abwicklung dieser 
Developpabeln als Gerade, und hierin liegt der Grund für die 
Namen „rektifizierende Ebene“ und „rektifizierende Developpable“. 
Die Umkehrung des an der Spitze dieses Artikels stehen 
den Satzes ist aber nicht immer zutreffend: eine geodätische 
Linie zwischen zwei Punkten A, B braucht nicht auch die 
kürzeste Linie zwischen diesen Punkten zu sein. Einfache 
Beispiele hierfür bieten die Kugel und der Zylinder. Die 
beiden Bögen, in welche der durch A, B gelegte Hauptkreis 
der Kugel zerfällt, sind geodätische Verbindungen der beiden 
Punkte; aber nur einer von ihnen ist auch die kürzeste Linie 
(sofern A, B nicht diametral gegenüberliegen). Jede Schrauben 
linie, welche auf einem Zylinder durch zwei Punkte A, B 
geht, ist eine geodätische Verbindung; aber unter den unend 
lich vielen links und rechts gewundenen Schraubenlinien ist 
nur eine die kürzeste Linie zwischen A und B, diejenige 
nämlich, welche von A bis B nicht mehr als einen halben 
Gang zurücklegt.