Zweiter Abschnitt. 
Differentiation von Funktionen einer Variablen. 
§ 1. Der Differentialquotient und das Differential. 
20. Begriff des Differentialquotienten. Bei der 
Feststellung des Verlaufes einer gegebenen Funktion ist eine 
der ersten Fragen auf die Änderung gerichtet, welche der 
Wert der Funktion bei einer Änderung des Wertes der Variablen 
erfährt. 
Es sei f(x) eine in dem Intervalle (cc, ß) gegebene stetige 
Funktion der (stetigen) Variablen X] unter x sei zunächst ein 
Wert innerhalb des Bereichs (cc, ß) verstanden. Bei dem Über 
gange von x zu x F h, welch letzterer Wert ebenfalls dem 
Bereich angehört, oder bei der Änderung 
Ax = h 
der Variablen geht der Wert der Funktion von f(x) in f(x + h) 
über und erfährt die Änderung 
Af{x) = f(x -f Ä) — f{x). 
Die Stärke der Änderung der Funktion bei dem beschriebenen 
Übergange wird um so größer sein, je größer bei einem fest 
gesetzten Ax das Af(x) ausfällt, und je kleiner bei einem 
festgesetzten Af(x) das zugehörige Ax sich ergibt; ein Maß 
für dieselbe wird daher in dem Quotienten 
/i\ = fÄ + h) — f(x) 
' ' zIx h 
zu erblicken sein. Da die Größen Ax, Af(x) Differenzen 
zweier Werte der Variablen und der zugehörigen Werte der 
Funktion sind, nennt man sie auch Differenz der Variablen, 
beziehungsweise Differenz der Funktion und den Quotienten (1) 
den Differenzenquotienten der Funktion.