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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
(2) 
gemeint sein. 
lim + 
» t- n ™ 
Hiernach ist unter dem Differentialquotienten einer Funktion 
f(x) an einer Stelle x der Grenzwert zu verstehen, gegen welchen 
der an dieser Stelle gebildete Differenzenquotient konvergiert, wenn 
die Änderung h der Variablen durch positive wie durch negative 
Werte der Grenze Null sich nähert. 
Ist der Bereich der Variablen ein beschränkter, also ein 
endliches Intervall (a, ff), so kann an den Enden des Inter 
valls selbstverständlich nur von einseitigen Differentialquotien 
ten die Rede sein, und zwar kann, wenn « < /3, für x = a 
nur der Grenzübergang L, für x — ß der Grenzübergang II. 
zur Anwendung kommen. 
Es ist oben bemerkt worden, der Differentialquotient an 
einer Stelle x sei ein Maß für die Stärke der Änderung der 
Funktion daselbst; diese Ausdrucks weise wird erst dann völlig 
verständlich, wenn eine Einheit für das Maß gefunden ist; 
diese Einheit ist die Stärke der Änderung der Variablen selbst. 
Ist nämlich f{x) = x, so ist der Differenzenquotient X ^ X = 1 
und folglich auch der Differentialquotient von x an jeder Stelle 
x gleich 1. An einer Stelle also, wo der Differentialquotient 
von f(x) größer ist als die Einheit, ändert sich die Funktion 
stärker als die Variable, an einer Stelle, wo er kleiner als 1 
ist, ändert sie sich schwächer als die Variable; dabei kommt 
zunächst nur der absolute Wert des Differentialquotienten in 
Betracht. 
21. Wenn für die Funktion f(x) an jeder Stelle x des 
Bereiches (a, ff) der Grenzwert (2) vorhanden ist, mit andern 
Worten, wenn sie an jeder Stelle einen Differentialquotienten 
besitzt, so ist hiermit eine neue Funktion für denselben Bereich 
von x definiert; man nennt sie die abgleitete oder derivierte 
Funktion oder kurz die Ableitung von f(x), aber auch — im 
übertragenen Sinne — den Differentialquotienten von f(x) und 
gebraucht dafür, je nachdem es in dem betreffenden Falle vor 
teilhafter ist, eines der Zeichen*) 
*) Die drei Bezeichnungen stammen der Reihe nach von Leibniz