ûg- 
'iten einer Funktion 
ehen, gegen welchen 
\t konvergiert, wenn 
wie durch negative 
hränkter, also ein 
Enden des Inter- 
liff'erentialquotien- 
a < ß, für x = a 
Grenzübergang II. 
o Ö 
irentialquotient an 
der Änderung der 
l erst dann völlig 
aß gefunden ist; 
r Variablen selbst. 
bient* + *-*=. 1 
h 
x an jeder Stelle 
ifferentialquotient 
dcb die Funktion 
er kleiner als 1 
de; dabei kommt 
itialquotienten in 
ider Stelle x des 
ist, mit andern 
;rentialquotienten 
lenseiben Bereich 
te oder derivierte 
aber auch — im 
en von f{x) und 
fenden Falle vor- 
nach von Leibniz 
Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 45 
d x§, f{x), 
oder kürzer, indem f(x) = y gesetzt wird, 
y’’ D *y- 
Die analytische Bedeutung dieser neuen Funktion ist also durch 
die Gleichung 
(3) ^ - f(x) = DJix) = Ern 
gegeben, wenn der Grenzübergang bei unbestimmt gelassenem 
x ausgeführt wird. 
Im allgemeinen gehören zu verschiedenen Werten von x 
auch verschiedene Werte von fix)’, es gibt jedoch einen — und 
nur diesen einzigen — Fall, wo zu allen Werten von x der 
selbe Wert von f\x) gehört, die Funktion an allen Stellen 
sich gleich stark ändert; es ist dies die rationale ganze Funktion 
ersten Grades fix) = ax -fl)’, denn für sie ist der Differenzen- 
.. . a(x-\-h)-\-h— (ax-fh) -, , 
quotient ——-— ^ 1 —- = a, also auch 
F fax + &) = «; 
das geometrische Bild dieser Funktion — eine Gerade — 
spricht dies in vollster Deutlichkeit aus. 
Setzt man in der letzten Formel a = 0, so sagt sie, daß 
(4) D x b = 0, 
daß also der Differentialquotient einer konstanten Funktion oder 
einer Konstanten kurzweg Null ist; mit a = 1 und b = 0 er 
gibt sich das oben schon gefundene Resultat 
(6) D,x-1, 
daß der Differentialquotient der Variablen x selbst die Ein 
heit ist. 
Die Existenz eines endlichen Differentialquotienten an einer 
Stelle x setzt die Stetigkeit der Funktion in der Umgebung 
dieser Stelle notwendig voraus; denn der Quotient (1) kann 
bei gegen Null konvergierendem h nicht anders einem endlichen 
Grenzwerte sich nähern, als daß auch sein Zähler gegen Null 
(in einem Manuskript von 1676), Lagrange (Théorie des fonctions ana 
lytiques 1797) und Arbogast (Calcul des Dérivations 1800).