ung. 
Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 47 
er Stetigkeit in der 
x statt. Dagegen 
anal dafür, daß an 
, Als Beispiel diene 
le Werte von x de- 
ihre Stetigkeit in 
ig hervor, daß 
md kleinen x den 
in. Der Grenzwert 
0 ist aber 
i 
i ’ 
rt an dieser Stelle 
i definieren, welche 
ja selbst an allen 
, Indessen genüge 
’) 
sehe Bedeutung 
n das Gebiet der 
md f(x) die Maß- 
rende Größen und 
irlangt auch der 
An dieser Stelle 
von welchen die 
nen und die für 
, so muß man doch 
0 zuschreiben, wenn 
tzen will, daß das 
udet man inE.Pas- 
h von A. Schepp, 
zwei große Gebiete von grundlegender Bedeutung sind: für die 
Phoronomie und die Geometrie. 
1) Es sei x die von einem bestimmten Augenblicke an 
gezählte Zeit, welche ein in gerader Linie sich bewegender 
Punkt gebraucht hat, um den Weg f(x) zurückzulegen; dann 
ist f(x + h) der in der Zeit x -f- h vollendete, somit 
f(x + h)—f (x) der in dem Zeitintervall (x, x -f- h) zurück 
gelegte Weg. Wäre die Bewegung eine gleichmäßige, d. h. 
eine solche, bei welcher in beliebig großen, jedoch gleichen 
Zeitabschnitten gleiche Wege zurückgelegt werden, so stellte 
der Quotient 
f(x + h)~f{x) 
h 
die Geschwindigkeit, d. i. den in einer von den Zeiteinheiten, 
in welchen x und h ausgedrückt sind, beschriebenen Weg dar. 
Auf eine ungleichmäßige Bewegung läßt sich dieser Begriff 
der Geschwindigkeit nicht unmittelbar übertragen; der an- 
geschriehene Quotient bedeutet nunmehr die während des Zeit 
intervalls {x, x -f- h) auf die Zeiteinheit durchschnittlich ent 
fallende Weglänge; je kürzer das Zeitintervall, um so geringer 
die Ungleichmäßigkeit der Bewegung während desselben, um 
so näher rückt die Bedeutung jenes Quotienten der einer Ge 
schwindigkeit; und nähert sich der Quotient hei stetig gegen 
Null abnehmendem h einem Grenzwert, so wird dieser Grenzwert 
ü m f { - x + h )~ f( x ) 
h= + o h 
als die im Augenblicke x herrschende Geschwindigkeit erklärt. 
Wenn also f'(x) den bei geradliniger Bewegung in der Zeit x 
zurückgelegten Weg ausdrückt, so hat der JDifferentialquotient 
f (x) die Bedeutung der im letzten Augenblicke dieser Zeit herr 
schenden Geschwindigkeit. 
Mit Hilfe des Bewegungsbegriffes kann dem Differential 
quotienten eine bemerkenswerte Deutung gegeben werden. Stellt 
man sich vor, die Variable x durchlaufe ihr Intervall (a, ß) 
gleichmäßig, so durchläuft die Funktion ihren Bereich im all 
gemeinen ungleichmäßig; bis zu dem Zeitpunkte, in welchem 
die Variable den Wert x, die Funktion den zugeordneten Wert 
f{x) angenommen, Sei die Zeit t verflossen, und in dem weiteren