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(1), (2), (3), (4) und ist folglich eine Permutation; wir wollen sie 
die identische Permutation von Ä nennen. Hieraus geht hervor, 
daß jeder Körper mit sich selbst konjugiert ist. 
Der in § 159 betrachtete Körper J oder E(i) besitzt außer der 
identischen noch eine zweite Permutation, durch welche jede in ihm 
enthaltene Zahl x-\-yi in die konjugierte Zahl x — yi übergeht. 
Dieselbe Permutation gilt, wenn x, y nicht auf rationale Zahlen 
beschränkt werden, sondern beliebige reelle Zahlen bedeuten, auch 
für den aus allen Zahlen bestehenden Körper Z. 
Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, daß jeder Körper 
A auch alle rationalen Zahlen enthält; ist nun cp wieder eine be 
liebige Permutation von A, und wendet man das Gesetz (4) auf 
den Fall u = v an, so ergibt sich, daß 1' = I ist, und hieraus folgt 
mit Rücksicht auf die Gesetze (1), (2), (3), (4), daß jede rationale 
Zahl des Körpers A, weil sie durch eine endliche Anzahl von ein 
fachen rationalen Operationen aus der Zahl 1 entsteht, durch die 
Permutation qp in sich selbst übergeht. Der Körper R der rationalen 
Zahlen besitzt daher keine andere, als die identische Permutation. 
Ist cp eine Permutation des Körpers A, so wollen wir umgekehrt 
sagen, A gehöre zu cp oder sei der zu cp gehörige Körper, oder wir 
wollen der Kürze halber A auch geradezu den Körper der Permu 
tation cp nennen, während Acp der durch cp erzeugte Körper heißt. 
Daß cp und cp nur verschiedene Zeichen für eine und dieselbe 
Körper-Perrautation sind, werden wir durch cp = cp andeuten; hierin liegt 
also, daß cp und cp Permutationen desselben Körpers A sind, und daß 
für jede in A enthaltene Zahl a stets a(p = acp ist. Falls eine dieser 
beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, nennen wir cp und ^verschieden. 
Bedeutet nun 0 ein System von Permutationen irgendwelcher 
Körper, so wollen wir eine in allen diesen Körpern (also auch in 
ihrem größten gemeinsamen Divisor) enthaltene Zahl einwertig, 
zweiwertig usw. in bezug auf 0 oder zu 0 nennen, je nachdem 
die Anzahl der verschiedenen Werte, in welche sie durch alle 
diese Permutationen übergeht, = 1, 2 usw. ist. Nach dem obigen 
ist daher jede rationale Zahl einwertig in bezug auf jedes System 0; 
ebenso wichtig ist der folgende Satz: 
Ist 0 ein System von n verschiedenen Permutationen 
cp v <p 2 ... cp n desselben Körpers A, so gibt es in letzterem un 
endlich viele Zahlen, welche w-wertig zu 0 sind.