QUng. 
Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Yariablen. 57 
jen die Grenze Null, 
irt; ist also an einer 
ntsprechenden Stelle 
und umgekehrt, 
e Bedeutung, wenn 
Fig. 7) auffaßt; die- 
x = qp (y) dargestellt 
beider Darstellungen 
daß das erstemal x, 
s die unabhängige 
faßt wird *). Der 
D x f(x) ist die tri- 
mte des Winkels a, 
e MT mit der posi- 
bszissenachse bildet, 
Winkels b : welchen 
ung der Ordinaten 
ist tg a • tg b = 1; 
Formel (12), Wird 
t dort die Tangente 
mr Ordinatenachse, 
d wird, wie iu F, 
zur Abszissenachse, 
<p{y) = 0 an dieser 
i 
den Fall y = 
i 
ze Zahl, unter x m 
i wird und x auf 
enn m eine gerade 
[y) in solche Lage zu 
en Seite der horizon- 
e der vertikalen Achse 
der Kurve in bezug 
Zahl ist, so findet sich mit Benutzung yon (8) nach Formel (12) 
woraus 
I) x x m • my m ~ 1 = 1, 
i i 
D„x m = 
my 
m -1 m 
und trägt man nun in die Formel (7) f(x) = x m ein, so kommt 
(13) vß 
n — 1 1 n 
1 ! n 1 
nx m • — X m = — X m 
m m 
dadurch ist die Gültigkeit der Formel (8) für positive gebrochene 
Exponenten dargetan. Wird schließlich in der Formel (10) 
n 
c = 1 und g{x) = x m gesetzt, so ergibt sich mit Benutzung 
von (13) 
n m -1 
— X n 
und Formel (8) ist nun auch auf negative gebrochene Exponen 
ten erweitert. Sie gilt also für jeden rationalen Exponenten. 
28. Differentiation zusammengesetzter Funktionen. 
Es sei u = cp(x) eine eindeutige stetige Funktion von x, y = f(u) 
eine eindeutige stetige Funktion von u, so ist mittelbar y auch 
eine eindeutige stetige Funktion von x: y == f\cp (#)]; man 
nennt in solchem Falle y eine zusammengesetzte Funktion von 
x oder auch eine Funktion von einer Funktion von x. 
Ein bestimmter Wert von x hat einen bestimmten Wert 
von u und dieser einen bestimmten Wert von y zur Folge, 
und besitzt (p(x) an der Stelle x und f(u) an der Stelle u 
einen Differentialquotienten, so hat auch an der Stelle 
x einen Difierentialquotienten. Geht man nämlich von x zu 
x + Ax über, so erfahren auch u, y gewisse Änderungen 
Au } Ay, und es ist 
^ der Differenzenquotient von u in bezug auf x, 
Au ” ” ” y ” » ” u ’ 
A y 
Ax n ” y » » v x 5 
n 
(14) D x x~ m