inung. 
:en besteht aber die 
werden möge; somit 
lie Beziehung 
, y also durch zwei- 
m ergäbe sich durch 
rfache eindeutige Ver- 
en x zusammenhängt, 
■ man der Heike nach 
on u nach v, von v 
alle als vorhanden 
entialquotient von y 
'fferentialquoüenten. 
besonderer Fall der 
u n setzt. 
= u n , wo n nun jede 
n — 1 
aren Funktionen. 
etzten Paragraphen 
= x n die für jeden 
v — 0 als Unstetig- 
Sätzen des vorigen 
expliziten algebrai- 
Z weiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Yariablen. 59 
1) Für die ganze Funktion 
y = a 0 x n -f- a t x n ~ 1 -f- • • • -f- a n _ x x -f- a n 
hat man unmittelbar (24, (1), (2), 25. (5)) 
D x y = nAh Q x n -' + (n — 1) a 1 x n ~ 2 H h a n _ 1 ; 
es gibt hiernach eine ganze Funktion zum Differentialquotienten 
eine ebensolche Funktion von nächst niedrigerem Grade. 
2) Die gebrochene Funktion 
_ q o^+ a i xtt 1 4~ • • • 4~ a n 
b 0 x m -\-b l x m 1 + • • • -f- b m 
läßt Differentiation zu an allen Stellen, für welche der Nenner 
nicht verschwindet, und zwar ist dann (26, (9)) 
(b 0 x m -(- • • + b m ) (na 0 x n 1 + • • • + a n-i) — 
t) .. — (fl«#” 4~ ' ' • 4~ an) {n^h Q x m 1 -f- • • • -F b m _t) . 
l f x J (■, m | T t, \2 
\b 0 X + • • • + b m ) 
Z. B. y — gibt für jeden Wert x einen Dififerential- 
quotienten, weil der Nenner für keinen reellen Wert von x 
Null wird, und es ist 
J) x y = 
8x 3 
(x 4 + l) 2 ’ 
I 
dagegen wird y = unstetig an den Stellen x = — 1 
und x = + 1, für welche die Definition ihre Geltung verliert; 
in den Intervallen (—- oo, —1), (—1, +1), (+1, -f* oo), mit 
Ausschluß der Grenzen, ist 
j) 8 x 
JJ xV = ~~ ^2 • 
3) Die “Differentiation einer Wurzel aus einer rationalen 
Funktion erledigt sich durch Verbindung von 28, (15) mit den 
A ~\ /[ 1 
vorangehenden Fällen. Ist z. B. y = y — 3 ^, so beachte man 
zunächst, daß x auf das Intervall (1, + oo) beschränkt wer 
den muß; davon ist der Anfangswert 1 auszuschließen als Un 
stetigkeitspunkt; setzt man u = ^- s — *, so ist 
v u y = 
u~? 
£C 4 —(- 3x 2 -\- 2x 
(x s — l) s ’ 
Du =