60 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Zweit 
folglich 
D 
'.»--t V; 
x°— 1 x* 3a: 2 -f- 2x 
x*+l ' 
{x s — l) 2 
30. D er Logarithmus. Der mit der Funktion y = log a x, 
wo a>0 und x > 0 ist, gebildete Differenzenquotient ist 
lo ga(« + h ) — lo Sa x 1 i /- • h ' 
h 
1 k&l 1 + 5 
setzt man 
£, so Yollführt s mit h zugleich den Grenz 
übergang zu + 0, somit ist 
(A) 
D log ^ = — log. 
lim (1 -f- s)‘ 
L- * = + 0 
Die Existenz und endgültige Bestimmung des Differential- 
i 
quotienten hängt also davon ab, ob sich der Ausdruck (1 -\- s) e 
bei gegen Null abnehmendem Betrage von s einem bestimmten 
Grenzwerte nähert und welches dieser Grenzwert ist. 
Wir lassen s zunächst die Reihe der reziproken natür 
lichen Zahlen durchlaufen, betrachten also den Ausdruck 
( X + 1) 
für ein beständig wachsendes positives ganzes n. Dann ist 
l)(w —2) 1 
(C) 
1 , n{n — 
~n 1T2 
1) 1 , n{n 
n 2 ' 1-2-3 
+ 
n{n ■ 
1-2 ...» 
— 1 + t + 
, tzMzl , 
1 4 o o 
1-2-3 
+ 
(‘-4)0 
1-2 ...n 1 
mit wachsendem n nimmt jedes Glied der rechten Seite vom 
dritten angefangen zu und wächst die Anzahl der durchwegs 
positiven Glieder, somit wächst der Wert des Ausdruckes (B) 
mit zunehmendem n unaufhörlich, bleibt aber doch, wie groß 
auch n sein möge, schon von n = 2 angefangen kleiner als 
(D) 1 + T + I i 2 + r4T3 + - > ‘ + i-2 1 ..n^^- 
(E) o 
infolg 
größer 
daher 
multip 
rechts