62 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Zweii 
Es sind auf diese Weise zwei unbegrenzt fortsetzbare 
Folgen rationaler Zahlen 
(Gr) 
%) . . . 
. ; ^2 J ^3 } ' * * 
bestimmt derart, daß von n = 2 angefangen fortab der Wert von 
1 \« 
zwischen den entsprechenden Gliedern a n , h n eingeschlossen ist, 
so daß 
< b + -s)< 
da aber die Differenz a n — h n durch Wahl von n kleiner ge 
macht werden kann als eine beliebig kleine positive Zahl, 
indem zufolge (F) und (E) 
/v ‘4 
ÖL — V 
2 n 
2 n ' 
so bestimmen die beiden Zahlenreihen (G) einen Schnitt (2); 
diesem Schnitte entspricht eine Zahl, welche mit e bezeichnet 
wird, und diese Zahl ist der Grenzwert, welchem sich der 
Ausdruck (B) mit beständig wachsendem n nähert; es ist also 
(H) lim (l+-LW 
Zur Bestimmung dieser Zahl e ist jede der beiden Zahlen 
reihen (G) gleich geeignet; wir benutzen dazu die einfachere 
7 ^2 7 ^ 
1 + 
1 +— 4- — 
'1 '1-2 
+ 
1 1 1-2 * 1 ' 1-2 * 1-2-3 
deren zehntes Glied bereits 7 festbleibende Dezimalstellen gibt, 
so daß auf so viele Stellen genau*) 
e = 2,718 281 8 ... 
Es bleibt nur noch zu zeigen, daß der Grenzwert des 
Ausdruckes (B) die Zahl e ist, wie auch n ins Unendliche 
wachsen möge. Zunächst trete an die Stelle von n die posi 
tive stetige Variable ihr Wert wird, wenn er nicht eine 
*) Auf 18 Dezimalstellen abgekürzt, ist 
e = 2,718 281 828 459 045 235 .. . 
ganze ' 
n und 
daraus 
und 
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gern 
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