Zweiter Abschnitt. Unbestimmte Integrale. 
101 
in je zwei Integrale auf. Auf das erste läßt sich mit Erfolg 
partielle Integration anwenden in dem Sinne, daß man 
u =Q{x), dv = sinxdx, beziehungsweise = cosxdx nimmt; 
man erhält so 
(23) 
JG{x) 
JG(x) 
sin xdx = — G(x) cos# -f- j*G'(x) 
cos xdx = G(x) sin# —J*G'{x) 
cos x dx 
sin xdx\ 
wird auf das rechtsstehende Integral der ersten Gleichung die 
zweite Reduktionsformel und umgekehrt angewendet, so er 
geben sich die Reduktionsformeln: 
(24) 
sin x dx 
J G{x) 
G(x) cos x + G'(x) sin x S G " (x) sin xdx 
JG(x) cos xdx 
G(x) sin x + G\x) cos x — j G'\x)eosxdx, 
durch welche das linksstehende Integral auf ein solches der 
selben Art zurückgeführt wird, in welchem aber der Grad der 
ganzen Funktion um zwei Einheiten niedriger ist. Durch 
Benutzung der Formeln (24) und (23) kann man diesen Grad 
schließlich auf Null bringen und die Reduktion bis zu den 
, Jcos x dx führen. 
Bei dem zweiten Teile der Integrale (22) liefert eine 
einfache reelle Wurzel a des Nenners cp(x) einen Bestandteil 
der vom Koeffizienten abgesehen lautet: 
Grundintegralen Jsin xdx 
C Sin« 7 • / cos« 7 
I-—~ t dx, beziehungsweise I X _ a dx\ 
setzt man x — a = t, so wird 
/ sin « 7 / sin tdt. . / < 
dx = cos a I — t (- sin a I - 
/ cos« 7 / cos tdt . i si 
■ dx = cos a I —t sin a I 
OC —a J t J 
cos tdt 
sin tdt 
d. h. beide Formen lassen sich durch den Integralsinus und 
den Integralkosinus darstellen.