Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 113 
g 
r dieser Reihe 
><W5 erlegt 
so folgt weiter 
r neuen Reihe 
gleichstelligen 
l gegeneinander 
haben wegen 
;n angegebenen 
gen Darstellung 
0) 
Grenzwertes a 
mit Hilfe der 
er Form 
2 in (n\y 
)!] 2 (2w-f 1) 
! nach der Yor- 
4e-e' 
n a , . U 
— — or lim z-7-—: Tr 
‘2 2 (2 n -f- 1) 
e 12 " = 
woraus a = ]/2jr folgt. 
Durch Einsetzung dieses Wertes in (a) ergibt sich end 
gültig 
e 
n\ — n e +12 ” ySitn. (ß) 
Dies ist die Stirlingsche Formel*). Sie liefert Grenzen für 
n\, indem man einmal 6 = 0, ein zweitesmal 6 = 1 setzt. Be 
gnügt man sich mit der unteren zu 6 = 0 gehörigen Grenze 
als Näherungswert, wie dies für viele Fälle der Anwendung 
ausreicht, so hat man die Näherungsformel: 
n\ = n n e~ n }/2 %n. (y) 
Zur Illustration diene das folgende. Es ist 
20! = 2 432 902 008176 640 000, 
dagegen 
20 20 e- 20 1/4Ö» = 2 422 786 , 
20 20 e~ 20 + üöyiOit = 2 432903 , 
es liegt also tatsächlich der strenge Wert zwischen diesen 
beiden Grenzen, der oberen weit näher. Das Verhältnis der 
i 
Grenzen, e 12 ”, nähert sich mit wachsendem n der Einheit. 
9) Nach Formel 249, 3) ist 
7t 
Y 
( 18 ) /ÄKTiWi - h { arct s (I *»*)}. “ Tat. 
(ab > 0). 
262. Wenn die unbestimmte Integration sich nicht aus 
führen läßt, so muß zu anderen Hilfsmitteln der Auswertung 
des Integrals gegriffen werden. Solche werden im weiteren 
Verlaufe zur Sprache gebracht werden. Häufig aber, nament 
lich bei theoretischen Untersuchungen, handelt es sich um 
*) Yon A. de Moivre und L. Euler vorbereitet, von J. Stirling, 
Methodus differentialis (1730) zuerst formuliert. 
Cztiber, Vorlesungen. II. 2. Aufl. 
8