114 
Zweiter Teil. Integral-Rechnnng. 
eine bloße Schätzung des Integralwertes, um seine Ein 
schließung zwischen Grenzen. Die wichtigsten darauf bezüg 
lichen Sätze werden in diesem und den beiden folgenden 
Artikeln entwickelt werden. 
Das nächstliegende Mittel zur Abschätzung des Wertes 
eines bestimmten Integrals bietet der in 222, 6) nachgewiesene 
Satz, wonach zwischen dem kleinsten und größten Werte der 
Funktion f(x) eine Zahl g liegt, derart, daß 
b 
(19) Jf{x) dx = (b — a)g. 
a 
Bestimmt man demnach den kleinsten Wert m und den größten 
Wert M von f(x) in (a, b), so stellen (b — a)m und 
(b — d) M eine untere und eine obere Grenze für den Wert 
des Integrals dar. 
Ist f(x) stetig in (a, b), so läßt sich ein positiver echter 
Bruch 6 so bestimmen, daß g = f{a -f- Q(b— a)] ist; be 
zeichnet ferner F(x) eine stetige Funktion, welche f(x) als 
Differentialquotienten ergibt, so ist F(b) — F(a) eine zweite 
Darstellung des Integralwertes und daher nach (19) 
F(b) —F(a) = (b — d)F'(a -f 0(& — a)); 
dies aber ist der Ausdruck für den Mittelwertsatz der Differential 
rechnung (38). 
Wie schon an der oben zitierten Stelle erwähnt worden 
ist, nennt man die Zahl g den Mittelwert der Funktion f(x) 
in dem Intervalle (a, h). Drückt beispiels 
weise f(x) die Geschwindigkeit eines be 
weglichen Punktes zur Zeit x aus, so be 
deutet g die mittlere Geschwindigkeit in dem 
Zeiträume (a, h). Ist f(x) die zur Ab 
szisse x gehörige Ordinate einer Kurve CD 
(Fig. 117), so ist g die mittlere Ordinate 
des Bogens CD und zugleich die Höhe 
jenes Rechtecks über der Basis AD, welches mit der Figur 
ADDC gleiche Fläche hat. 
Ein anderes Hilfsmittel der Einschätzung gründet sich 
auf den am Schlüsse von 222, 6) erwiesenen Satz. Gelingt es 
nämlich, zwei Funktionen (p(x), ip(x) anzugeben, welche die 
Fig. 117.