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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Der Inhalt dieser Formel pflegt als erster Mittelwertsatz*) be 
zeichnet zu werden. Die Formel (22) ist insofern allgemeiner 
als (23), als sie auch dann Gleitung hat, wenn die Funktion 
cp(x) zwar endlich, aber nicht durchaus stetig ist; dann braucht 
sie nämlich den Mittelwert p nicht anzunehmen. 
Die Formel (22) oder die Ungleichung (21) führt zu 
b 
einer Abschätzung des Wertes von j^cp(x)il:(x)dx, wenn sich 
b a 
das Integral ßl>(x)dx bestimmen läßt. 
a 
Wäre F(x) ein Integral von cp (x) ip (x), G(x) ein Integral 
von ^(x), so daß 
F'(x) = cp(x) {x), 
also 
G\x) = 
F\x) 
G\x) 
cp{x), 
so lautete die Formel (23): 
F{V) - F(a) - -f| [ff(6) - ff(«)], 
woraus 
F{b) - F(a) F'(g). 
G(b) — G{ä) G\iy 
dies aber ist der Inhalt des erweiterten Mittelwertsatzes der 
Differentialrechnung (39). 
Beispiele. 1) Für das Integral 
a 
dx 
|/(1 — X 2 ) (1 — K 2 X 2 ) 
(jc 2 <1, 0 < a < 1) 
0 
können Grenzen gewonnen werden, indem man die Funktion 
in die Faktoren 1 — und y 1 zerlegt; der kleinste 
yi — x* }/l — x 2 x s ° ’ 
Wert des letzteren auf dem Integrationsintervalle ist 1, der 
größte Wert ■ . 1 infolgedessen ist, da 
° -j/l-x 2 « 2 ’ Ö 7 
*) Seine Formulierung stammt von P. G. L. Dirichlet, Werke I, 
p. 1B8.