Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 119 
isatz*) be- 
illgemeiner 
3 Funktion 
nn braucht 
führt zu 
wenn sich 
in Integral 
i’tsatzes der 
a< 1) 
ie Funktion 
ler kleinste 
i ist 1, der 
/' dx 
I , 1 = ai 
J V1 - ÌC 2 
= arcsin a 
arcsin a < 
,/i 
dx 
< 
"|/(1— ic 2 ) (1 — x s x s ) Y1 — x 2 a 2 
o 
die Grenzen sind um so enger, je kleiner a und x sind; sie 
betragen beispielsweise für x — ~ und a = y 0,523 59 .. und 
0,55109... 
2) Zerlegt man in dem Integrale 
ß- 
x* /y.2 
x 2 dx 
die zu integrierende Funktion in die Faktoren x und xe~ x ~, 
deren erster 0 zum kleinsten, 1 zum größten Werte hat, so 
ergibt sich 
i i 
0</r 2 e~‘ r2 dx ¿ce“* 2 dx = ^7“ — 0>316 .... 
0 0 
8) Es sei f(z) eine Funktion, die nebst ihren Ableitungen 
bis zur w-ten Ordnung eindeutig und stetig ist. Setzt man in 
z — x + h — t, 
so kommen den Funktionen f(x -\- Ji — t), f\x h — t), , 
ß n )(x -\-h — t) dieselben Eigenschaften in dem Intervalle (0, h) 
der neuen Variablen t zu Mit Hilfe der partiellen Integration 
findet man 
h * 
lf\x + h-t)dt*={tf\x + h-t)} h o +ßfXx + h-t)dt, 
0 
also 
0 
ebenso 
h 
h n 
jf'ix -{-h — t)dt = hf(x) + f"{x + h — t)dt, 
j y f\x + ¡1 -t) d t = ~ f\x) +J f"\ x + h — ft 
dt 
let, Werke I,