120 
Zweiter Teil. Integral-Rechnnng. 
h 
f¿ 2 f"'{x + h-t)dt 
h 
= f.2.3 f"\ x ) f f IV ( x + h - f ) dt f 
0 
schließlich 
h 
pn ~ + T.-ZZ-X)^- 1)1 » 
0 
ll 
+/i.2.‘-(n-i) + ^-t)dt. 
6 
Bildet man die Summe aus diesen Gleichungen und be 
achtet dahei ; daß 
h 
Jf(x + h — t) d t = {— f{x + h — t)} o — f(x + h) — /■(»), 
0 
so kommt 
f(x + h)~ fix) + hfix) + £f"(x) + ■'(*) + • • • 
(24) 
1 • 2 • • • (n 
Y) f^{x) +/ r 
2 • • • (w — 1) 
(x -f h — t) dt. 
Dies aber ist die Taylorsche Formel (91, (6)), wobei 
das Restglied in der Gestalt eines bestimmten Integrals auf- 
tritt. Durch Anwendung des vorstehenden Mittelwertsatzes 
kann daraus die von Lagrange angegebene Restformel 
(91, (7)) gewonnen werden; zerlegt man nämlich die Funktion 
t n ~ ^ 
unter dem Integralzeichen in die Faktoren — ^ und 
f( n \x-\-h — t) und integriert den ersten, so hat man nach 
Formel (23) zu setzen 
a 
/1.2.+ h ~t)dt - rihr-J‘' n \ x + h -«•»). 
0 
wobei 0<#< 1; schreibt man für 1 — fr, das wieder ein 
positiver echter Bruch ist, 6, so ergibt sich tatsächlich die 
endgültige Form 
IT£r;fW(* + «»).