Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 121 
264. Der zweite Mittelwertsatz. Die zu integrierende 
Funktion lasse sich in zwei Faktoren (p{x), ip(x) zerlegen, von 
welchen vorausgesetzt wird, daß sie in dem Integrations 
intervalle (a, b) einschließlich der Grenzen eindeutig, endlich 
und stetig seien, daß aber ferner einer davon, z. B. ip (x), monoton 
verlaufe (17), d. h. entweder niemals abnehme oder niemals 
zunehme, so daß dip(x) keinen Zeichenwechsel erfährt, während 
x von a nach b läuft. 
Bezeichnet &(x) ein Integral von <p(x), also eine stetige 
Funktion mit dem Differentialquotienten cp(x), so gibt partielle 
Integration 
* h 
a 
a 
das Integral rechter Hand erfüllt nun alle Bedingungen, welche 
zur Anwendung des ersten Mittelwertsatzes erforderlich sind; 
es läßt sich also eine Stelle | zwischen a und b derart be 
stimmen, daß 
6 
6 
fo{x) dip{x) = <P(£)J dtp (x) = 0{£) [ip(b) — ip(a)]. 
o a 
Wird dies in die obige Gleichung eingetragen, so kommt 
b 
Jy(x)ip{x) dx = t (b) 4>(b) — ip{a) 0{a) — #(£) [ip(>b) — rp[a)\ 
a 
= ip{d) [<2»(|) - #(«)] + t(p) W & ) - *(*)]; 
vermöge der Bedeutung von 0(x) ist aber 
b 
a 
daher hat mau endgültig: