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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Betrage nach kleiner ist als eine Yorbezeichnete beliebig kleine 
positive Zahl s, daß also 
x" x' x' 
(2) | J*if(x)dx — j f(x)dx j — j j*]f{x)dx j < s. 
a a x' 
Hat hingegen <P{x') bei lim x = h — 0 den Grenzwert 
-f oo oder — oo oder nähert es sich dabei keiner Grenze, so 
b 
ist j jfix) dx ein Symbol ohne Bedeutung. 
a 
In manchen Fällen kann die Grenzbetrachtung entfallen, 
wenn es nämlich gelingt, durch eine Transformation der Va 
riablen das Integral in ein anderes mit endlich bleibender 
Funktion und endlichem Integrationsintervalle umzuwandeln, 
d. h. in ein eigentliches Integral zu transformieren; der Wert 
des letzteren wird dann naturgemäß auch als Wert des ur 
sprünglichen aufzufassen sein. Insofern jedes Integral von der 
hier betrachteten Art, das einen bestimmten Wert hat, durch 
eine passend gewählte Transformation der Integrationsvariablen 
in ein eigentliches Integral umgesetzt werden kann, trifft die 
Bezeichnung „uneigentliches Integral“ nicht das Wesen, son 
dern nur die Form des Ausdrucks. 
Wenn die unbestimmte Integration von f{x) ausgeführt 
werden kann und wenn die Funktion F(x), die für alle Werte 
von x, für welche a x < 1), f(x) als Differentialquotienten 
gibt, stetig bleibt bis an die obere Grenze h, an welcher sie 
den Wert jP(6) annehmen möge, so ist 
x' 
lim ff{x)dx = lim F(x ) - F(a) = F(b) - F{a) 
x‘ = b — 0 a x' = 6 — 0 
und daher 
h 
(3) j f{x)dx = F(h) — JE (a), 
a 
so daß auch in diesem Falle der Hauptsatz der Integralrechnung 
Gültigkeit hat. 
Würde die Funktion f\x) statt an der oberen an der 
unteren Grenze unendlich, also bei dem Grenzübergange 
lim x = a + 0, so wäre der Gleichung (1) entsprechend