Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 125 
b b 
(4) j f{x) dx = lim Cf(x)dx, 
a x = a + 0 x ' 
vorausgesetzt, daß der rechts ungeschriebene Grenzwert wirk 
lich existiert. 
Fiele der ünendlichkeitspunkt von f(x) in das Innere des 
Intervalls, an eine Stelle c, so hätte man (a, h) zu zerlegen in 
die Teilintervalle (a, c), (c,h) und dementsprechend zu setzen: 
b x' b 
(5) j f(x)dx — lim i f(x)dx -f lim / f(x)dx, 
a *'=c~0 a x" = c + 0x" 
wenn die beiden Grenzwerte auf der rechten Seite wirklich 
vorhanden sind; die beiderseitigen Grenzübergänge zu c sollen 
unabhängig voneinander sein.*) 
Es bedarf keiner weiteren Bemerkung, wie man sich zu 
benehmen hätte, wenn die Funktion f(x) an mehreren verein 
zelten Stellen von (a, h) unendlich werden sollte. 
Beispiele. 1) Das Integral 
i 
o 
bezieht sich auf eine Funktion, die an der oberen Grenze un 
endlich wird; es hat indessen einen bestimmten Wert. Dies 
geht einmal daraus hervor, daß es durch die Substitution 
x = sin t in das eigentliche Integral 
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I dt 
o 
sich verwandelt, dessen Wert ~ ist; andererseits ist das uu- 
bestimmte Integral arcsin x stetig in dem Intervalle (0, 1) mit 
Einschluß der Grenzen, daher ist nach (3) 
*) Existiert ein Wert des Integrals nur dann, wenn die beiden 
Grenzübergänge in bestimmter Weise voneinander abbängen, so spricht 
man nach Cauchy (Werke, Bd. I, S. 402) von einem singulären 
und insbesondere vom Hauptwert des Integrals, wenn beständig 
c — x = x” — c ist.