Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 129 
X 
/ rlr 
für lim x" — h — 0 den 
{b~x) n 
endlichen Grenzwert 
(1 — ri)(Jb — x ) 
——r, dem es sich wachsend 
/\7t — I ' 
nähert, und da das Integral j f(x)dx, das unter den gemachten 
Voraussetzungen auch fortdauernd wächst, unter diesem Grenz 
werte verbleibt, so hat es für lim x' = h — 0 ebenfalls einen 
bestimmten Wert; somit gilt dies auch von 
6 
x' 
x" 
-(- lim. 
x" = b — 0 
Für den Fall lim f{x) = — oo erleidet die Beweisführung 
x = b — 0 
nur eine unwesentliche Abänderung. 
Bei 
Integral 
Beispiele. 1) Ist v [ ein irreduktibler Bruch, so hat das 
cp{x) 
ß 
9>(«) 
dx 
nur dann einen bestimmten Wert, wenn das Intervall (a, h) 
mit Einschluß seiner Grenzen keine reelle Wurzel von cp(x) 
enthält; im andern Falle ist es unendlich. 
Denn unter der gedachten Voraussetzung ist —j-t inner- 
halb (a, h) und an den Grenzen endlich. Hat dagegen cp(x) 
zwischen a und h die reelle Wurzel c, so enthält es den 
Faktor x — c und wird ^ an der Stelle x — c unendlich 
cp{x) 
von der ersteren oder einer höheren Ordnung in bezug auf 
—-—, ie nachdem c eine ein- oder mehrfache Wurzel ist. 
x — c ; J 
6 
/ d cc t / • 
5, was für Zahlen auch a, h sein 
a 
mögen, einen bestimmten Wert (arctg h — arctg a); hingegen ist 
Czuber, Vorlesungen II. 2. Aufl. 9