Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 135 
der Frage, ob ein Integral mit unendlichem Integrationsinter 
valle eine Bedeutung hat oder nicht, eine besondere Unter 
suchung. Man kann dabei häufig von dem folgenden Satze 
Gebrauch machen: 
Wenn die Funktion f(x), welche für alle Werte x > a > 0 
eindeutig definiert ist, wenigstens von einer über a gelegenen 
Stelle x () angefangen beständig positiv [negativ) bleibt und hei 
dem Grenmbergange lim x = + oo unendlich klein wird von 
erster oder niedrigerer als der ersten Ordnung in bezug auf > 
so ist das über (a, -f- oo) erstreckte Integral von f(x) -f oo (— oo): 
einen bestimmten Wert hat es unter den gemachten Voraus 
setzungen nur dann, wenn fix) unendlich Mein von höherer als 
der ersten Ordnung wird. 
Bezeichnet man die Ordnungszahl mit n, so hat 
= x n f{x) für lim x — + oo 
einen bestimmten von Null verschiedenen Grenzwert, den wir 
als positiv voraussetzen. 
Sei A eine positive unter diesem Grenzwerte liegende 
Zahl, so gibt es notwendig eine Stelle x über x 0j von der 
angefangen beständig 
x n f(x) > A 
also 
daraus folgt dann 
«y 
x' 
x' 
ist nun n ^ 1 *), so ist nach 268, 1) 
X 
*) Hierin sind also auch die Fälle n — 0 und n<^ 0 inbegriffen; 
dem ersten entspricht die Konvergenz von f{x) gegen eine endliche 
Grenze, dem zweiten das Unendlichwerden von f{x) bei lim x = -j- oo.