Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 139 
bilden dann eine unendliche und zwar eine alternierende Reihe 
(76), und es ist die Untersuchung des Integrals auf die Prü 
fung dieser Reihe auf ihre Konvergenz zurückgeführt. Die 
Konvergenz kann vermöge der Beträge der Glieder allein statt 
finden und heißt dann absolut; sie kann aber auch erst hraft 
des Zeichenwechsels vorhanden sein; dann spricht man von be 
dingter Konvergenz. Diese Begriffsbestimmung überträgt man 
denn auch auf Integrale mit unendlichem Integrationsgebiete 
und unterscheidet zwischen solchen, welche gegen ihren Grenz 
wert absolut konvergieren, d. b. auch dann, wenn man statt 
fix) den absoluten Wert | f{x)\ in Rechnung zieht, und zwischen 
solchen, welche ihrem Grenzwerte nur bedingt, d. i. kraft des 
unaufhörlichen Zeichenwechsels von f{x) zustreben. 
Sowie man die Beurteilung von Integralen mit unendlichem 
Intervalle mitunter mit Erfolg auf die Konvergenz von Reihen 
stützt, kann auch umgekehrt aus der Existenz solcher Integrale 
auf die Konvergenz gewisser Reihen geschlossen werden. 
Beispiele. 1) Der Integralsinus auf dem Gebiete (0, + oo), 
d. i. 
CO 
0 
gehört zu den eben besprochenen Formen; bezüglich seiner 
unteren Grenze ist schon früher (267, 3)) entschieden worden; 
es bleibt nur noch die Zulässigkeit der oberen Grenze in 
Frage. 
Teilt man (0, + oo) in die Intervalle (0, ar), (at, 2%), .. . 
so bilden die auf diese bezüglichen Integralwerte a 0 , a lf . . . 
eine alternierende Reihe mit positivem Anfangsgliede, und 
wenn diese Reihe 
a o T* a i + ' ’ ' 
konvergiert, so hat das Integral einen bestimmten Wert gleich 
dem Grenzwert dieser Reihe. Nun folgt aus 
f 
{n + l)n 
( sin» dx 
P 
(n + 2) n 
' sinx dx 
»i 
X 
X 
daß