Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 141 
daher 
i a i I + I a 2 I + H ®n I < ^ -jr + 2 > + • • + n rj ; 
folglich hat auch f ^ x (1 < v < 2) eineu bestimmten 
Wert (73, 4)). o 
2) Von der Existenz des Integrals 
QO 
0 
überzeugt man sich auf ähnliche Weise. Wird nämlich 
(0, -f oo) in die Teile (0, ]/V), (fAt, . . . zerlegt, so 
bilden die hierauf bezüglichen Integralwerte eine alternierende 
Reihe a 0 -f- a x + • • •, deren Glieder dem Betrage nach be 
ständig ahnehmen und schließlich gegen Null konvergieren. 
Denn es ist 
yjn + l)n 
l =J'sin {x 2 ) dx, 
Ynn 
Y{n + 2)n 
a n+\ = J sin (x 2 )dx: 
Y{n + l)n 
das zweite Integral geht aber durch die Substitution x 2 = n -f-t 2 
über in 
*n+ 1 
Y{n-\-i)n 
—J*sin (f) 
\n -f t- 
dt 
Ynn 
und in dieser Form ist unmittelbar zu erkennen, daß |«J>ja n+1 i; 
ferner ist 
Y(n+\)n _ 
I öl I < jdx = V(n + l)n — Vhtc = —7=—, 
1 w 1 J VK ’ y j/n+f/n + i 
Ynn 
folglich lim a n = 0. 
n — + 00 
Die Konvergenz ist hier nur bedingt. Denn nach 262, (19) ist 
Y(n + l)n 
I =J*; sin (x 2 ) | dx = d[y{n + 1 )lt — ynn] 
Ynn 
ey% 
j/n-j-Yn ~Y 1 ^ 2 f/n -f- 1 
eyn 
= >