Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 143 
einen bestimmten Wert, so ist die unendliche Reihe 
fi a ) f(. a + 1) 4~ 4- 2) 4-• • • 
konvergent; hat dagegen das Integral den Wert + oo, so ist 
die Reihe divergent; cc bedeutet die kleinste ganze Zahl in 
(a, + oo). 
Weil nämlich für alle Werte von x zwischen a 4- n und 
a -\- n -\- 1 
f(a 4- n) > fix) > f(a 4- n 4- 1), 
so ergibt sich durch Integration zwischen a + n und «4-^4-!- 
a + n + l 
+ n) >Jf{x) dx > f{a 4- n 4- 1). 
a + n 
Daraus folgt aber, daß 
X 
J*?{x)dx > f{a 4- 1) 4- fi a 4* 2) 4" f(tt 4- 3) 4- • • • 
a 
x 
J*f(x)dx < f{pf) 4- f(a 4- 1) 4- f(a + 2) 4- • • •• 
a 
x 
Ist demnach J*f{x) dx eine endliche Größe, so ist vermöge der 
(X 
ersten Beziehung die aus positiven Gliedern bestehende Reihe 
f{a 4- 1) 4- f{u 4* 2) 4- f(u 4- 3) -f • • •, also auch die Reihe 
f{a) 4- f{cc +!) + ••• konvergent; die zweite Beziehung zeigt, 
daß die Reihe /■(«) 4- /*(« + !) + ••• divergent ist, wenn das 
Integral einen unendlichen Wert hat. 
So hat das Integral 
ex 
/ 
dx 
{x > 0) 
einen bestimmten Wert, wenn n > 1, dagegen einen unendlichen 
AA ert, wenn n < 1 (268, 1); infolgedessen ist die Reihe 
4 l 1 j L _i_,.. 
± n T 2 n ' gw I 
konvergent für n >• 1, divergent für n < 1 (73, 1), 3), 4)).