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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
dem absoluten Betrage nach unter jede beliebig klein fest 
gesetzte positive Zahl gebracht werden kann, ist gleichbedeutend 
mit der Aussage: 
b 
Cf(x)dx= lim S n (x), 
J n - + oo 
a 
d. h. wenn man die Bedeutung von S Ä (ir) ins Auge faßt, 
b b b b 
Man braucht nur die untere Grenze unbestimmt zu lassen 
und die obere durch x zu ersetzen — beide Grenzen selbst 
verständlich auf das Konvergenzintervall von (1) angewiesen — 
um die Formel für unbestimmte Integration zu erhalten. 
Eine Potenzreihe ist in jedem Intervalle, das innerhalb 
ihres Konvergenzintervalles liegt, gleichmäßig konvergent (85); 
daraus ergibt sich auf Grund des obigen Satzes die wichtige 
Folgerung: 
Eine Potenzreihe ist in jedem Intervalle, das innerhalb ihres 
Konvergenzintervalles enthalten ist, zur ghedweisen Integration 
geeignet. 
Was die Grenzen des Konvergenzintervalles selbst anlangt, 
so ist folgendes zu bemerken. Ist X beispielsweise die obere 
Grenze des Konvergenzintervalles, a dagegen innerhalb des 
selben gelegen und die Reihe 
x x 
J f u {x)dx + j*f 1 (x)dx -f- • • • 
a a 
konvergent, so stellt sie den Wert des Integrals 
x 
a 
auch dann noch dar, wenn die vorgelegte Reihe an der Grenze 
X selbst nicht mehr konvergent sein sollte (266). 
Ist demnach insbesondere (— X, 4 X) das Konvergeuz- 
intervall der Potenzreihe 
a 0 4 a t x + o 2 x 2 4 • • •