Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 147 
und f{x) ihr Grenzwert, so ist 
X 
jf{x) dx = a 0 x + a t x 2 -f a. 2 ^ H 
o 
für jedes x, das dem Betrage nach kleiner ist als X, und es 
gilt auch noch 
x 
1' 
f(x)dx = a 0 X + a t ~ + a 2 ~ -\ , 
wenn die rechts befindliche Reihe konvergent ist, auch wenn 
O/q -j - dj X. -f- itg X 2 -)- ■ ■ ■ 
nicht mehr konvergent sein sollte. 
So ist beispielsweise, solange | x 1 < 1, 
—, = 1 — x 2 + x* — • • • 
i -f- X* 
(69, 1)); daher für jedes solche x auch 
X 
dx 
rf /v> 3 
t/J 
. 2 = arctg x = . + — 
-fr ö 1 3 1 o 
aber auch noch 
L 
dx Tt 1 1,1 
+ = 4 = 1 3 ö” 
weil die rechts befindliche Reihe konvergiert, obwohl die ur 
sprüngliche Reihe für x — 1 nicht mehr konvergent ist. 
.Ebenso hat man, solange j x | < 1, 
. 1 ■ = 1 — X -\- X 2 — • • • 
1 -f- X ' 
und für jedes so beschaffene x auch 
aber auch noch 
dx 1 ~ 1 
. = V Ä = ~ 
1 -j— X 1 
2 ^ 3 
-i._i.JL 
2 ' 3 
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