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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
obwohl die der Integration unterworfene Reihe für x — 1 nicht 
mehr konvergent ist. 
Ein weiteres Beispiel dieser Art bietet der für jedes x, 
dessen Betrag unter 1 liegt, geltende Ansatz 
Y1 — x‘ 
solange j x | < 1, ist auch 
, 1 O . 1 • 3 4 
=.= 1 + 2 4* 
J 
'* dx 
yi — x 2 
x 
arcsin x = y 
+ 
1 
2 
x 3 1 ■ 3 x 5 
W ' 2 - 4 ~b 
+ • • •; 
da die rechts befindliche Reihe auch noch für x = 1 kon 
vergent ist — die ursprüngliche ist es nicht mehr (98j — 
so ist auch 
i 
n 1 1 1 t • 3 1 _j_ 
2 1 ' 2 3*2-45 1 
272. Differentiation konvergenter Reihen. Für 
eine konvergente Potenzreihe mit dem Grenzwerte f(x) ist in 
Artikel 88 der Satz bewiesen worden, daß sie durch gliedweise 
Differentiation eine neue konvergente Reihe ergibt, deren 
Grenzwert der Difierentialquotient f{x) von f{x) ist. Dieser 
Satz kann nun auf konvergente Reihen überhaupt ausgedehnt 
werden und lautet dann folgendermaßen: 
Wenn aus der konvergenten Beihe f Q {x) -j- / j(V) + fi{x) H 
mit dem Grenzwerte f(x) durch gliedweise Differentiation die 
gleichmäßig konvergente Reihe ff (x) -f /j'(x) -f ff (#) + ••• 
hervorgeht, so ist der Grenzwert F(x) der letzteren — f'{x). 
Sind nämlich a und x zwei Werte, welche den Konver 
genzintervallen beider Reihen zugleich angehören, so darf auf 
die zweite Reihe wegen ihrer gleichmäßigen Konvergenz glied 
weise Integration über (a, x) angewandt werden und ergibt: 
X X X X 
(F(x)dx = J ff{x)dx -f jf\\x)dx -f fff{x)dx -f • • • 
= fo 0) -- U a ) + f 0) - fi 0) + / 2 0) - fs (») -f— 
= foi x ) + fii x ) + /2O) 4 
— [/0 i a ) + fii a ) + f$( a ) + • • ■] 
= fi x ) - /*(«);